PROVA N2 - CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS

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1 - “A função é a fronteira entre as integrais impróprias convergentes e divergentes impróprias com 
integrandos da forma 
 
 
 
A integral imprópria converge se p > 1 e diverge se p 1.” 
Fonte: THOMAS, G. B. Cálculo. 11. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2008. v. 1. p. 614. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre integral imprópria, analisando a integral 
imprópria , analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A integral imprópria converge. 
II. O valor da integral é . 
III. A integral imprópria diverge. 
IV. O valor da integral é 2. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
~Parabéns! Para conseguirmos identificar a alternativa correta, precisamos primeiramente determinar o valor da 
integral dada. Vamos ver um exemplo de resolução: 
 
 
 
a integral imprópria converge para o valor 
 
 
2 - De certa forma, podemos dizer que uma integral imprópria é o limite de uma integral definida quando uma 
das extremidades de seu intervalo se aproxima de um número real, de menos ou mais infinito, podendo ainda, 
os dois extremos se aproximarem de um limite. 
 
Considerando essa informação e os conteúdos estudados sobre a resolução de integrais impróprias, 
calcule . 
 
 
3 - A integral de uma função de duas variáveis no plano também pode ser chamada de integral múltipla. O cálculo 
de uma integral pode ser dado por meio de função de variáveis reais, assim como de variáveis complexas. Neste 
último caso, abordaremos uma integração complexa. 
 
Considere um dado círculo , cujo centro esteja na origem e seu raio seja 3. A partir da 
função , definida para todo Assim, e considerando o conteúdo 
estudado, determine f(2i). 
 
4 - A transformação de Laplace, também conhecida como transformada de Laplace, é uma transformação de 
suma importância em diversas áreas da engenharia. Muitas vezes, ela se apropria dos conceitos das integrais 
impróprias em sua resolução. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre Laplace, determine . 
 
 
5 - Ao trabalharmos com as funções, temos que considerar a importância de não somente determinarmos a sua 
lei de formação, mas também o seu domínio e condição de existência. Com as funções analíticas não poderia 
ser diferente. 
 
Então, podemos afirmar que a função 
 
 
é válida para todos os pontos de , sendo: 
 
 
6 - Cada conteúdo que aprendemos no campo da Matemática, funciona como uma “ferramenta” para 
solucionarmos os problemas. São nossos aliados como recursos essenciais, para facilitar o processo e oferecer 
resultados mais precisos. Uma dessas ferramentas é a transformada de Laplace, que possui muitas aplicações 
na engenharia, sendo capaz de transformar uma função, por exemplo, em outra. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre transformação inversa de Laplace, calcule y - 5y = 
0, sendo y(0) = 2. 
 
 
7 - A transformada de Laplace é alternativa adequada de aplicação, pois, muitas vezes, consegue reduzir a 
complexidade do processo de análise ou sintetiza um novo sistema baseado em características específicas nos 
estudos das engenharias. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre a transformada de Laplace, calcule 
 
 
8 - O estudo das sequências em Cálculo avançado é necessário, pois sua aplicação na solução de situações 
que envolvem as séries é muito utilizada em problemas da ciência e engenharia, destacando a praticidade do 
conhecimento de seus teoremas. 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre limites de sequências, encontre . 
 
 
9 - Nos estudos dos cálculos avançados com números complexos, podemos definir uma sequência numérica 
como uma sucessão finita ou infinita de números que obedecem a uma determinada ordem, dado por um padrão 
(que chamamos de razão) predefinida. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre sequências, encontre uma fórmula para o termo 
geral da sequência . 
 
 
10 - No âmbito do cálculo avançado com números complexos, podemos dizer que as integrais que não obedecem 
às propriedades como o domínio da integração finito e que a imagem do integrando seja finita nesse domínio, 
são denominadas de integral imprópria. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre integral imprópria, determine o valor de .