4-Lajes maciças em concreto armado

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(ESTRUTURAS DE CONCRETO) 4-Lajes Maciças em Concreto Armado
MÓDULO 1 - Definir o pré-dimensionamento e o conceito de cargas e esforços em lajes isoladas
PRÉ-DIMENSIONAMENTO, CARGAS E ESFORÇOS EM LAJES ISOLADAS
O primeiro passo para obter um projeto executivo de lajes maciças em concreto armado consiste em determinar as dimensões no pré-dimensionamento e as cargas e os esforços que atuarão na laje durante o processo construtivo e, depois, ao longo de sua vida útil. Antes disso, porém, é preciso realizar algumas determinações e definições para a laje maciça. É o que você verá a seguir.
Definições preliminares do projeto em concreto armado: Antes de iniciar o dimensionamento de elementos estruturais em concreto armado, o engenheiro precisa buscar informações sobre o local onde a edificação estará inserida a fim de determinar a classe de agressividade ambiental (CAA) do meio e consequentemente obter a classe do concreto a ser utilizada no projeto e o cobrimento nominal das armaduras.
Essas informações podem ser retiradas de tabelas fornecidas pela ABNT NBR 6118:2014.
A tabela 1 relaciona o meio onde a edificação estará inserida e sua CAA.
ABNT NBR 6118:2014:
· Para as classificações gerais urbana, marinha e industrial (a última, com agressividade forte ou muito forte), pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).
· Para as classificações gerais urbana e industrial com agressividade forte, pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) em obras em regiões de clima seco, com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65 %, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde raramente chove.
· A classificação geral industrial muito forte se refere a ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes e indústrias químicas.
Definida a CAA da edificação, seguimos para a etapa de determinação da classe do concreto (C), que pode ser obtida na tabela 2. A relação água-cimento será de grande importância para o engenheiro responsável pela dosagem do concreto. Já o engenheiro estrutural deverá estar atento à C que precisa ser adotada no projeto estrutural.
A tabela 2 apresenta valores para concreto armado (CA) e concreto protendido (CP) apenas para efeito de comparação, já que estudaremos apenas o CA.
Segundo a ABNT NBR 6118:2014:
· O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir os requisitos estabelecidos na ABNT NBR 12655.
· O tipo CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado; o CP, a componentes e elementos estruturais de concreto protendido.
Atenção: Outra informação de grande importância para o engenheiro estrutural é o cobrimento nominal que será adotado no projeto. Esse cobrimento garante a proteção da armadura pelo concreto. Ele aparece na tabela 3, apenas para concreto armado, com uma variação ∆c de 10mm.
Os cobrimentos nominais (Cnom) e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa; em geral, à face externa do estribo (armadura referente às tensões de cisalhamento).
De acordo com a ABNT NBR 6118:2014:
· Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, revestimentos finais secos tipo carpete e madeira ou argamassa de revestimento e acabamento, como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros, as exigências da tabela 3 podem ser substituídas por:
Sendo o ∅barra referente ao diâmetro da armadura longitudinal e respeitado um cobrimento nominal maior ou igual a 15mm.
· Nas superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV.
· No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação, a armadura precisa ter cobrimento nominal maior ou igual a 45mm.
Conceitos para o pré-dimensionamento de lajes maciças
Nesta seção, apresentaremos alguns conceitos que precisam ser entendidos antes da realização do pré-dimensionamento da laje maciça em concreto armado.
Primeiramente, é preciso montar o projeto de formas do pavimento, ou seja, definir o posicionamento dos pilares e das vigas da estrutura, para então determinar as lajes. A imagem adiante apresenta uma planta de formas do primeiro pavimento de uma residência unifamiliar (casa). Vale lembrar que, como visto anteriormente, os elementos estruturais devem ser posicionados considerando o projeto arquitetônico e os demais projetos complementares.
É a partir do projeto de forma que determinaremos os vãos das lajes. Os vãos teórico e de cálculo são medidos pelas distâncias entre os centros dos apoios. Nas lajes em balanço, o comprimento teórico é o comprimento da extremidade livre até o centro do apoio (a laje L1 da imagem a seguir apresenta um lado em balanço, isto é, sem apoio de vigas).
Entretanto, de acordo com a ABNT NBR 6118:2014, não é necessário adotar valores maiores que:
· Em lajes isoladas – o vão livre acrescido de 60% da espessura da laje;
· Em lajes contínuas – o vão livre acrescido de 60% da espessura da laje no painel considerado.
Em geral, para facilitar o cálculo, é usual considerar os vãos teóricos até os eixos dos apoios.
Quando os apoios das lajes puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo (lef) a ser utilizado para as lajes pode ser calculado, de acordo com a ABNT NBR 6118:2014, por:
Em que l0 é a distância entre as faces internas de dois apoios consecutivos; a1 é o menor valor entre t1/2 e 0,3.h; e a2 é o menor valor entre t2/2 e 0,3. h.
 
As lajes maciças são definidas como a região entre quatro ou três vigas. A borda da laje sem viga será considerada uma borda livre, conceito que será visto mais à frente. A imagem (a) adiante ilustra uma laje entre três vigas, e a imagem (b), uma laje entre quatro vigas, ambas retiradas da planta de formas da imagem anterior. Ainda pode haver aquelas com duas e até três bordas livres – é o caso da laje em balanço.
Na classificação quanto à armação, a laje pode ser armada em duas direções (em cruz) ou em uma direção. Para classificar a laje, é preciso comparar a razão entre o menor (lx) e o maior vão (ly). Se ly/lx ≤ 2, a laje será armada em duas direções; caso contrário, em uma direção.
A imagem a seguir ilustra a diferença entre lajes armadas em uma e em duas direções. Naquelas armadas em duas direções, as duas áreas de armaduras (Asx e Asy) são calculadas para resistir aos momentos fletores nessas direções.
Já as lajes armadas em uma direção, na realidade, também têm armaduras nas duas direções, sendo a armadura principal (Asx), na direção do menor vão, calculada para resistir ao momento fletor nessa direção, que é obtido desprezando a existência da outra direção.
Portanto, a laje é calculada como se fosse um conjunto de vigas-faixa na direção do menor vão. Na direção do maior vão, coloca-se armadura de distribuição (Asy), considerando a área mínima dada pela ABNT NBR 6118:2014.
Outro conceito importante é a determinação dos bordos da laje, que podem ser livres, simplesmente apoiados ou engastados. A representação dessas vinculações pode ser vista a seguir.
Saiba mais: A borda livre é caracterizada pela ausência de apoio e por apresentar deslocamentos verticais e rotação. Nas bordas engastadas, tanto os deslocamentos quanto as rotações são impedidas. Nas bordas simplesmente apoiadas, são impedidos apenas os deslocamentos verticais. Lajes que apresentam continuidade são engastadas, sendo o engastamento promovido pela laje adjacente.
A borda da laje será considerada engastadacaso a laje vizinha tenha rigidez suficiente para impedir a rotação da borda comum às duas lajes. Caso isso não ocorra ou se ela não tiver ligação com outra laje, a borda será considerada simplesmente apoiada. Para lajes em balanço com três bordas livres, a quarta borda deverá ser obrigatoriamente engastada, como mostra a imagem adiante:
Uma diferença significativa entre as espessuras de duas lajes adjacentes pode limitar a consideração de borda engastada somente para a laje com menor espessura, admitindo-se simplesmente apoiada a laje com maior espessura.
Uma borda da laje pode ficar com uma parte engastada e a outra apoiada, como demonstra a imagem a seguir. Um critério aproximado, possível para esse caso, é dado por:
– Considera-se a borda totalmente apoiada;
– Calculam-se os esforços para as duas situações (borda totalmente apoiada e borda totalmente engastada) e adotam-se os maiores valores no dimensionamento;
– Considera-se a borda totalmente engastada.
Resumindo: Em resumo, as lajes sem continuidade, diretamente apoiadas sobre as vigas ou alvenaria, são supostas simplesmente apoiadas sobre os apoios. As lajes rebaixadas devem ser consideradas simplesmente apoiadas nos quatro lados. Balanços são supostos obrigatoriamente engastados. Quando há continuidade de uma laje sobre um apoio, a menor laje é sempre considerada engastada. Uma laje pode estar engastada em outra, mesmo não havendo continuidade em toda a extensão do apoio comum, desde que, pelo menos em 2/3 do apoio, haja continuidade.
Nas situações em que não é claro o modo como o bordo de uma laje se vincula na vizinha, recomenda-se verificar as duas possibilidades (engastada e simplesmente apoiada) e dimensioná-la com os maiores esforços obtidos em cada situação (momentos negativos para borda engastada e positivos para bordas simplesmente apoiadas).
Não se deve engastar uma laje de maior altura em uma de menor altura. Entre lajes contínuas, por sua vez, o comprimento do vão da laje que receberá o engastamento não pode ser inferior a 80% do vão daquela que será engastada.
A partir desses conceitos, daremos sequência ao pré-dimensionamento e ao cálculo dos esforços em lajes maciças em concreto armado.
Pré-dimensionamento das lajes maciças: O pré-dimensionamento da laje consiste na determinação de sua espessura (altura). A ABNT NBR 6118:2014 não informa a altura inicial a ser adotada, porém estipula os valores mínimos que podem ser empregados:
· 7cm para lajes de cobertura não em balanço;
· 8cm para lajes de piso não em balanço;
· 10cm para lajes em balanço;
· 10cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30kN;
· 12cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30kN;
· 16cm para lajes lisas e 14cm para lajes-cogumelo, fora do capitel.
A altura das lajes (h) pode ser obtida pela expressão:
 Sendo d a altura útil da laje e ∅, o diâmetro da barra.
Conforme dito anteriormente, como na ABNT NBR 6118:2014 não há recomendação sobre a altura inicial a ser adotada, será utilizada como base a recomendação da ABNT NBR 6118:1980, na qual as condições de deformações limites para vigas em “T” estariam atendidas quando o valor da altura útil obedecer à condição:
Em que Ψ2 e Ψ3 são coeficientes que dependem da vinculação e do tipo de aço, respectivamente. Os casos de vinculação para as lajes isoladas serão apresentados na imagem a seguir:
A imagem adiante expõe situações de vinculação de lajes isoladas: (a) com uma borda livre e (b) com duas bordas livres, sendo la o vão perpendicular ao vão livre e lb, o lado com o vão livre.
Os valores para Ψ2, para os casos de vinculação da imagem A, estão apresentados na tabela 4; já os valores para Ψ2, para os casos de vinculação de B, aparecem na tabela 5. Vale ressaltar que os valores de Ψ2 das tabelas são para lajes armadas em cruz, ou seja, armadas em duas direções. Esses valores variam em função da vinculação e do λ, que é dado por:
Nos casos de vinculação das lajes com uma borda livre, λ é dado por:
A tabela 6, por sua vez, apresenta os valores de Ψ2 para lajes armadas em uma direção.
Os valores de Ψ3, coeficiente que varia com o tipo de aço utilizado para armação das lajes maciças, são dados na tabela 7.
Você sabia: Com a identificação do tipo do aço e da classe de agressividade do concreto, conseguimos determinar o cobrimento nominal da laje, a vinculação desse cobrimento com ela e a geometria da laje. Com essas informações, é possível realizar o seu pré-dimensionamento calculando a altura da laje.
Determinação das cargas e dos esforços em lajes isoladas: As cargas que são aplicadas na laje, em sua grande maioria, são ações normais ao seu plano. Separamos essas cargas em: ações provenientes do peso da própria laje e do seu revestimento e ações acidentais de utilização da laje.
A carga devida ao peso próprio da laje (Ppr) é obtida utilizando a seguinte equação:
Em que γc é o peso específico do concreto armado (geralmente, é adotado o valor de 25kN/m³).
O peso próprio dos revestimentos é calculado de forma análoga ao peso próprio da laje. Lembre-se de que devem ser considerados os seguintes aspectos: os revestimentos com argamassa sobre e sob (se for o caso) da laje; o revestimento do piso; e se vai ser colocado algum forro preso na parte de baixo da laje.
Os valores do peso específico dos revestimentos podem ser encontrados na ABNT NBR 6120:2019.
Em seguida, deve-se considerar a utilização de cada pavimento e de cada laje da edificação para, assim, determinar a carga acidental que atuará na estrutura por meio das informações fornecidas pela ABNT NBR 6120:2019.
Exemplo de aplicação prática
Um engenheiro estrutural, levando em consideração o projeto arquitetônico e os demais projetos complementares do pavimento térreo de uma edificação, obteve o projeto de formas ilustrado a seguir em que também está indicada a utilização de cada laje. No projeto estrutural, será adotado o aço CA50 previamente com 10mm de diâmetro para as armações das lajes. Além disso, a carga de alvenaria deverá ser considerada em todas as lajes, exceto na L1.
A casa será construída na região litorânea do Rio de Janeiro. No projeto arquitetônico, consta que será utilizado piso do tipo granito em todos os cômodos e que todas as paredes e as estruturas serão revestidas com argamassa e pintura.
Observe o esquema de revestimentos que será adotado nas lajes para o cálculo do peso próprio: espessura da argamassa de contrapiso (hcp) igual 3,0cm; espessura do reboco a seguir da laje (htl) igual a 2,5cm; e altura das placas de granito (hpg) igual a 2,0cm. A alvenaria de vedação será realizada com blocos cerâmicos vazados com 11,5cm de espessura e um revestimento de 2cm por face.
Com base nessas informações, determine:
I. A classe do concreto e o cobrimento nominal que serão utilizados no projeto;
II. A vinculação de cada laje isolada;
III. O pré-dimensionamento da altura das lajes;
IV. As ações atuantes em cada laje isolada.
 Apoio em V1 e V2. 
Confira a solução abaixo:
I. Para determinar a classe do concreto e o cobrimento nominal, primeiramente é necessário determinar a classe de agressividade à qual a edificação está submetida (tabela 1 reproduzida a seguir). Como a edificação ficará em região litorânea, ela é classificada como CAA III – Marinha, com grande risco de deterioração da estrutura. Contudo, como são ambientes internos e a estrutura será revestida com argamassa e pintada, a ABNT NBR 6118:2014 permite utilizar a classe de agressividade um grau acima, ou seja, para a situação do exemplo será adotada a CAA II – Moderada, com risco pequeno de deterioração da estrutura.
Estabelecida a CAA da edificação, definiremos a classe do concreto e o cobrimento nominal utilizando as tabelas 2 e 3 (também reproduzidas a seguir).
Desse modo, no projeto, será considerado concreto com resistência à compressão de 25MPa e cobrimento nominal da laje de 2,5cm.
II. Antes da determinação da vinculação, calcularemos o comprimento dos vãos de cada uma das lajes, considerando até o eixo dos apoios. Sendo assim:A laje L1 apresenta borda livre na extremidade frontal, bordas simplesmente apoiadas na lateral e engastadas nas lajes L2, L3 e L4. Ou seja, a L1 será do caso 12, com lb igual a 10,30m e la igual a 2,07m. Confira a seguir a imagem detalhada:
A laje L2 será simplesmente apoiada nas vigas de extremidade nas lajes 1 e 3. A L2 não será engastada na L1 devido à diferença de rigidez entre as lajes, pois o comprimento da L2 na direção do engastamento na L1 é muito superior: 6, 34m ≫ 2, 07m.
Já a diferença entre os vãos da L2 e da L3 é de:
 Portanto, a L2 será do caso 1.
A L3 será engastada em sua continuidade com as lajes L2 e L4 por ter o vão nessa direção menor que o das outras lajes e será simplesmente apoiada na viga externa e na continuidade com a L1, pois:
 Logo, a L3 será do caso 6.
A L4 será apoiada em todos os seus apoios de vigas externas e em suas continuidades com outras lajes. A diferença entre o comprimento dos vãos da L3 e da L4 é menor que 70%; por isso, L4 não será engastada nessa laje. O cálculo está demonstrado a seguir:
 Com isso, a L4 será do caso 1.
III. Para realizar o pré-dimensionamento da altura das lajes, serão utilizadas as seguintes equações:
 
Como o aço utilizado será o CA50 em todas as lajes, pela tabela 7 (reproduzida a seguir) temos que Ψ3 será igual a 25.
O Ψ2 será obtido pelas tabelas 4 e 5 (reproduzidas a seguir). Para tanto, será necessário calcular o λ de cada laje. Em seguida, a altura das lajes será pré-dimensionada.
L1: 
Como a laje é armada em uma direção com balanço:
 
L2:
 
 
 
 
L3:
 
 
L4:
A altura a ser adotada para todas as lajes será esta:
Como L1 é engastada nas demais lajes, L2, L3 e L4 não podem ter altura menor do que ela. Caso o engenheiro calculista queira diminuir a espessura das lajes, ele deverá diminuir os vãos, inserindo uma quantidade maior de vigas no projeto de formas.
IV. Para o cálculo das ações atuantes em cada laje isolada, serão utilizados os seguintes pesos específicos:
· Peso específico do concreto armado: γc = 25, 0kN/m3 (ABNT NBR 6118:2014, p. 9).
· Peso específico do granito: γgra = 28, 5kN/m3 (ABNT NBR 6120:2019, p. 8).
· Peso específico da argamassa: γarg = 19, 0kN/m3 (ABNT NBR 6120:2019, p. 9).
Eis a ação permanente devido ao peso próprio da laje:
 Ação permanente devido ao peso próprio dos revestimentos da laje:
Já a ação permanente devido ao peso próprio da alvenaria (valor obtido diretamente da ABNT NBR 6120:2019, p. 11) é a seguinte:
Logo, a ação permanente da laje (glaje) a ser considerada no projeto estrutural será:
A ação variável devido à utilização da laje, obtida na ABNT NBR 6118:2019 (p. 20 e p. 17, respectivamente), é dada por:
Dormitórios, sala, copa cozinha e sanitários (L2, L3 e L4)
Varanda (L1)
As cargas determinadas acima são cargas características; para serem utilizadas no dimensionamento da laje, elas precisam ser multiplicadas pelo fator de majoração.
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. No pré-dimensionamento de uma residência unifamiliar em região rural, um engenheiro estrutural obteve altura útil da laje (d) igual a 8cm e considerou barras com diâmetro de 10mm. Sabendo que ele utilizou o valor obtido na tabela a seguir, observe a figura e marque a opção que apresenta a altura (h) calculada pelo engenheiro em seu pré-dimensionamento da laje em questão:
 
a) 10,5cm
b) 11,0cm
c) 11,5cm
d) 12cm
e) 12,5cm
A alternativa "A" está correta. Para edificação em zona rural, temos a CAA igual a I; logo, o cobrimento nominal é dado por 2cm:
2. No pré-dimensionamento de uma laje do caso 3 com armadura CA50, com o maior vão igual a 6,0m e o menor igual a 4,0m, dada a tabela a seguir, o engenheiro obteve a altura útil estimada da laje, em número inteiro, igual a:
a) 8cm
b) 9cm
c) 10cm
d) 11cm
e) 12cm
MÓDULO 2 - Aplicar os cálculos para verificação de flechas
VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS: Flecha (f) é a deformação transversal de uma barra reta ou placa quando submetida a carregamentos perpendiculares ao seu eixo. Veja a seguir:
A verificação das flechas ocorre no estado limite de deformação excessiva (ELS-Def).
A flecha total (ftotal,∞) do elemento estrutural é dada pela soma da flecha imediata (fimediata), que é a parcela da flecha que ocorre quando a estrutura está em carga. Essa flecha pode ser calculada pela equação da flecha elástica á (felástica)– com a flecha diferida (fdiferida) – que ocorre devido ao efeito de fluência do concreto. Ou seja:
A flecha limite (flimite) é determinada pela ABNT NBR 6118:2014 e limita a flecha máxima para evitar o efeito visual desagradável de deformação da estrutura. Sendo assim, a norma exige que:
Nos itens a seguir, apresentaremos o roteiro de cálculo para a verificação da flecha e um exemplo de aplicação.
Roteiro para verificação de flechas em lajes maciças: O primeiro cálculo a ser realizado para a verificação de flechas em lajes maciças refere-se à determinação do carregamento atuante no ELS-Def, que considera a combinação de carga quase permanente (pqp) para a realização das verificações. Essa combinação é dada por:
Sendo Fd,ser o valor de cálculo das ações para combinações de serviço, Fgi,k a soma das cargas permanentes características, Fqj,k a soma das cargas acidentais características e ψ2 o fator de redução de combinação quase permanente para o estado limite de serviço.
Após determinar o valor do carregamento quase permanente pela equação acima, calcula-se o valor da flecha elástica. Nesse cálculo, o efeito da fissuração do concreto não é considerado. Utiliza-se a seguinte equação:
Sendo E o módulo de deformabilidade do concreto e α o coeficiente que depende de λ e do caso da situação de vinculação. Os valores de α para as situações de vinculação da imagem anterior serão apresentados na tabela 8.
O módulo de elasticidade utilizado nas verificações dos estados limites de serviço, situação das verificações das flechas, é o módulo de elasticidade secante (Ecs), que, para agregados de granito, é dado por:
A flecha imediata é calculada pela equação:
Em que Ic é o momento de inércia da seção bruta e Ie, o momento de inércia efetivo da seção.
Você sabia: Segundo a ABNT NBR 6118:2014, os efeitos de fissuração e deformação lenta devem ser obrigatoriamente considerados no cálculo da flecha. A deformação lenta é obtida por meio da flecha diferida que leva em conta os efeitos da fluência.
Essa flecha é calculada como:
Sendo:
Em que:
t0 é a idade do concreto ao entrar em carga (meses), momento em que se retira o escoramento do elemento concretado – geralmente aos 28 dias, ou seja, um mês. Já t é o tempo (em meses) para calcular a flecha. Estudos mostram que, a partir de 70 meses, não há mais variação significativa da fluência. Por sua vez, p’ é a taxa de armadura comprimida.
A tabela 9 mostra valores para ξ(t):
Após o cálculo da flecha total pela soma entre a flecha imediata e a diferida, compara-se esse valor com a flecha limite estabelecida pela ABNT NBR 6118:2014. A flecha limite é calculada pela equação:
Exemplo de aplicação prática: A partir do projeto arquitetônico e dos demais projetos complementares do pavimento térreo de uma edificação, um engenheiro estrutural obteve o projeto de formas em que também está indicada a utilização de cada laje. No projeto estrutural, será adotado o aço CA50 previamente com 10mm de diâmetro para as armações das lajes. Deverá ser considerada carga de alvenaria em todas as lajes, exceto na L1. A casa será construída na região litorânea do Rio de Janeiro. No projeto arquitetônico, consta que será utilizado piso do tipo granito em todos os cômodos e que todas as paredes e as estruturas serão revestidas com argamassa e pintura.
A imagem adiante apresenta o esquema de revestimentos que será adotado nas lajes para o cálculo do peso próprio: espessura da argamassa de contrapiso (hcp) igual 3,0cm, espessura do reboco a seguir da laje (htl) igual a 2,5cm e altura das placas de granito (hpg) igual a 2,0cm. A alvenaria de vedação será realizada com blocoscerâmicos vazados com 11,5cm de espessura e revestimento de 2cm por face.
Com base nessas informações e no resumo dos cálculos já realizados, verifique as lajes da edificação quanto às flechas.
Resumo das determinações e dos cálculos já realizados: Serão considerados no projeto concreto com resistência à compressão de 25MPa e cobrimento nominal da laje de 2,5cm.
A altura a ser adotada para todas as lajes será:
Cargas atuantes: Ação permanente da laje (glaje) a ser considerada no projeto estrutural para as lajes 2,3 e 4:
Ação permanente da laje (glaje) a ser considerada no projeto estrutural para a laje 1:
 Ação variável devido à utilização da laje (qlaje) a ser considerada no projeto estrutural:
· Dormitórios, sala, copa cozinha, sanitários (L2, L3 e L4)
· Varanda (L1)
Confira abaixo a solução:
Cálculo do carregamento da combinação quase permanente:
L2, L3 e L4
L1
Cálculo do módulo de elasticidade:
Cálculo da flecha elástica para a combinação quase permanente:
L1
Para a laje 1, calcula-se a flecha apenas na direção do balanço. O elemento é considerado como uma viga engastada com extremidade livre:
A equação para o cálculo da flecha (dada pela hiperestática e pela resistência dos materiais) é:
L2, L3 e L4
Agora que calculamos os valores α, temos de identificar os valores λ. Para isso, vamos usar a tabela a seguir:
Logo:
Levaremos em conta que a seção não se encontra fissurada. E, com isso:
No cálculo da flecha diferida, consideramos que a retirada do escoramento da laje ocorrerá com 28 dias.
 
Sendo assim:
O cálculo da flecha total é obtido pela seguinte soma:
E, assim, temos:
Cálculo da flecha limite:
L1
L2, L3 e L4
 
A verificação da flecha é realizada pela seguinte análise:
Laje 1
Como a flecha total foi maior que a flecha limite admitida, a laje 1 sofrerá deformação maior que a limitada pela norma. Várias soluções podem ser apresentadas, desde processos construtivos até alterações no projeto.
No último caso, umas das soluções possíveis é alterar o projeto de formas, estendendo a V4 ou a V5 até a extremidade livre. Essa solução dividirá a L1 em duas, diminuindo o maior vão da laje e consequentemente o carregamento. Com essas alterações, teremos uma redução da flecha para as duas novas lajes.
Laje 2
Laje 3
Laje 4
Nas lajes L2, L3 e L4, observa-se que as flechas foram bem menores que as limites, sendo possível, dessa maneira, diminuir a altura delas. Vale lembrar que, para executar diminuição de altura, é necessário que a L1 também se comporte de forma desejável com a mesma espessura das demais lajes. Partiremos do princípio de que a L1 foi dividida em duas lajes e que essas novas lajes estarão de acordo com a nova espessura que será calculada.
Vamos igualar a maior das flechas das lajes (flecha da laje L4) com a flecha limite correspondente (em metros) e, com isso, teremos uma nova altura. Como a flecha é imediata, deve ser multiplicada por 1,32 devido ao efeito da fluência. Assim, teremos:
 
Adotaremos h=12cm e, com isso:
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas da sentença a seguir:
A verificação da flecha ocorre no estado limite ____________. A parcela da flecha total que considera a fluência, deformação lenta do concreto, está representada na flecha____________________
a) De serviço; imediata.
b) De serviço; diferida.
c) De serviço; elástica.
d) Último; imediata.
e) Último; elástica.
A alternativa "B" está correta.
A verificação da flecha ocorre no estado limite de serviço. As verificações no estado limite último são referentes aos esforços de ruptura. A flecha imediata é a que ocorre quando a estrutura recebe o carregamento. Já a elástica é a calculada utilizando a combinação de cargas quase permanente. A flecha diferida é a que leva em conta a fluência do concreto.
2. No estudo da verificação de flechas, o engenheiro obteve os seguintes valores em seus cálculos:
Com esses dados, marque a opção que apresenta a resposta correta.
a) A flecha diferida é de 0,323cm.
b) A flecha total é de 1,55cm.
c) A flecha diferida é menor que a elástica.
d) A flecha total é menor que a limite.
e) A flecha diferida é de 1,76cm.
A alternativa "D" está correta.
MÓDULO 3 - Formular o equilíbrio de esforços e o dimensionamento
EQUILÍBRIO DE ESFORÇOS E DIMENSIONAMENTO
As lajes são solicitadas essencialmente por momentos fletores e forças cortantes. Basicamente, seus cálculos podem ser feitos por dois métodos: o elástico e o plástico (ou de ruptura).
O cálculo elástico considera a análise do comportamento dos elementos sob cargas de serviço e concreto íntegro (não fissurado). Já o método plástico se baseia em mecanismos de ruptura das lajes.
Apesar das diferenças nas considerações, são utilizados nos dois métodos conceitos de ruptura da seção transversal no cálculo e detalhamento da armadura, além dos conceitos de método elástico na verificação do comportamento da estrutura em serviço.
Estudaremos o método elástico, que se baseia nas equações de equilíbrio de um elemento infinitesimal de laje e nas relações de compatibilidade das deformações desse elemento. O cálculo dos esforços solicitantes pode ser feito pela teoria clássica de placas delgadas (Teoria de Kirchhoff), supondo material homogêneo, isótropo, elástico e linear.
A equação diferencial fundamental de placas delgadas (lajes) submetidas a uma carga atuante em um ponto genérico da placa p(x, y) é dada por:
Sendo w o deslocamento vertical e D, a rigidez à flexão da placa, dada por:
 Em que v é o coeficiente de Poisson.
Saiba mais: Devido à complexidade presente nos cálculos, adotaremos aqui, entre as diversas formas possíveis para determinar os esforços e os deslocamentos (diferenças finitas, elementos finitos, grelha equivalente ou utilização de séries), a metodologia de séries por meio da utilização de tabelas. Tais tabelas permitem que os deslocamentos máximos (flechas) e os momentos fletores máximos sejam calculados de forma mais fácil.
Nas próximas seções, você verá como são determinados os momentos fletores máximos das lajes e como é realizada a compatibilização dos momentos e o dimensionamento das lajes.
Determinação dos momentos máximos nas direções X e Y.Os momentos fletores positivos serão representados pela letra m; e os momentos fletores negativos, por m’. O menor vão da laje será considerado como lx. Serão adotados ainda os coeficientes μx e μy para o cálculo dos momentos positivos por unidade de comprimento nas direções x e y (mx e my, respectivamente) e os coeficientes μ′x e μ′y para o cálculo dos momentos negativos por unidade de comprimento nas direções x e y(mx e my, respectivamente).
As equações para os cálculos dos momentos são as seguintes:
Atenção: Da isostática e da hiperestática, o momento positivo ocorre no vão da viga em questão. Já o negativo se dá no engaste. Nos apoios simplesmente apoiados, o momento é zero.
Para melhor visualização da consideração realizada em cada caso de vinculação de lajes, a figura a seguir ilustra a condição de vinculação considerada em cada direção para o cálculo dos momentos por unidade de área.
Os valores dos coeficientes μx, μy, μ’x e μ’y serão apresentados nas tabelas 10 (casos 1, 2 e 3), 11 (casos 4, 5 e 6) e 12 (casos 7, 8 e 9).
Tabela 10. Coeficientes μx, μy, μ’x e μ’y para o cálculo dos momentos máximos em lajes retangulares uniformemente carregadas (casos 1, 2 e 3).
Tabela 11. Coeficientes μx, μy, μ’x e μ’y para o cálculo dos momentos máximos em lajes retangulares uniformemente carregadas (casos 4, 5 e 6).
Tabela 12. Coeficientes μx, μy, μ’x e μ’y para o cálculo dos momentos máximos em lajes retangulares uniformemente carregadas (casos 7, 8 e 9).
Compatibilização dos momentos fletores: No conjunto de lajes de um pavimento, em geral, as lajes adjacentes diferem nas condições de apoio, nos vãos teóricos ou nos carregamentos, como vimos anteriormente. Isso resulta em valores distintos de momento no apoio comum; por isso, há a necessidade de promovera compatibilização dos momentos.
Para exemplificar a diferença nos momentos calculados, vamos voltar ao exemplo utilizado nos módulos anteriores e considerar o corte e a estrutura apresentados na imagem a seguir.
Valores de λ
Cargas atuantes com: h=12 cm
					Logo: 
Confira a solução abaixo:
O valor do carregamento uniformemente distribuído (p) considerado no cálculo dos momentos será:
Os valores de μx, μy, μ’x e serão retirados das tabelas 10 e 11.
Para as lajes 2 e 4, será utilizada a tabela 10, que tem um trecho reproduzido a seguir:
Logo:
Para a L2:
 
Para a L4:
 
Para a laje 3, será utilizada a tabela 11, que tem um trecho reproduzido adiante:
Para a L3:
 
De forma esquemática, o diagrama de momentos fletores para os valores calculados acima está ilustrado a seguir.
Devido à divergência de valores dos momentos no apoio das vigas V4 e V5, será necessária a realização da compatibilização dos momentos. Na compatibilização dos momentos negativos, o critério usual consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois momentos e 80% do maior. Esse critério apresenta razoável aproximação quando os dois momentos são da mesma ordem de grandeza.
Compatibilização do momento negativo na V4
Média dos momentos: 
80% do maior momento:
Desse modo, será adotado sobre a V4 o momento negativo de 5,82kN.m/m.
Compatibilização do momento negativo na V5
Média dos momentos:	
 
80% do maior momento: 
Dessa forma, será adotado sobre a V4 o momento negativo de 5,82kN.m/m. Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os momentos positivos na mesma direção devem ser analisados.
Se essa correção tende a diminuir o valor do momento positivo, como ocorre nas lajes L2 e L4, ignora-se a redução (a favor da segurança).
Caso contrário, se houver acréscimo no valor do momento positivo, a correção deverá ser feita somando-se ao valor desse momento fletor a média das variações ocorridas nos momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios, como no caso da laje L3.
Compatibilização do momento positivo na L3
Com a compatibilização dos momentos, o diagrama ficará conforme ilustra a imagem adiante. É com esses valores de momento que será realizado o dimensionamento na próxima seção.
Dimensionamento de lajes maciças em concreto armado: O cálculo da armadura longitudinal das lajes nas direções x e y é feito como nas vigas. Em lajes, deve-se lembrar que a largura da seção é tomada como uma faixa unitária (usualmente equivalente a um metro); por isso, a armadura encontrada deve ser distribuída ao longo da largura.
Já no dimensionamento quanto à armadura de cisalhamento, o comportamento das lajes em relação ao esforço cortante difere substancialmente do apresentado pelas vigas. As lajes costumam apresentar resistência a esse esforço, fazendo com que apenas o concreto seja capaz de resistir a ele.
Sendo assim, armaduras transversais só são necessárias em situações especiais.
Você sabia: A ABNT NBR 6118:2014 faz algumas recomendações quanto à não utilização da armadura transversal para resistir aos esforços de tração devido à força cortante. Para prescindir dessa armadura, é necessário que os requisitos de ancoragem sejam satisfeitos e que a força solicitante de cálculo (Vsd) seja menor ou igual à resistência de projeto ao cisalhamento (VRd1).
Desse modo, como condição de projeto, temos:
Em que:
 K=1 para elementos em que 50% da armadura inferior não chegam ao apoio; κ = (1, 6 − d) ≥ 1 com d em metros para os demais casos.
E: 
Em que As1 é a área de armadura de tração que se estende no mínimo até d − lb,nec além da seção considerada, sendo lb,nec o comprimento de ancoragem necessário.
A verificação da compressão diagonal do concreto (bielas comprimidas) em elementos sem armadura cisalhante é feita comparando-se a força cortante solicitante de cálculo (Vsd) com a resistência de cálculo (VRd2), dada por esta equação:
Em que: 
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Para uma laje de vãos teóricos de 4,30m e 4,73m do caso 8 de vinculação, o engenheiro obteve um carregamento solicitante de 6,5kN/m². Marque a opção que apresenta o momento do vão na direção x dessa laje.
a) 5,12kN.m/m
b) 4,29kN.m/m
c) 3,98kN.m/m
d) 3,55kN.m/m
e) 2,84kN.m/m
2. Para uma laje de vãos teóricos de 5,0m e 6,5m do caso 9 de vinculação, o engenheiro obteve um carregamento solicitante de 9,2kN/m². Aponte a opção que apresenta o momento no engaste na direção y dessa laje:
a) 4,39kN.m/m
b) 7,42kN.m/m
c) 10,54kN.m/m
d) 13,06kN.m/m
e) 22,07kN.m/m
MÓDULO 4 - Definir o detalhamento e a apresentação de projeto
DETALHAMENTO E APRESENTAÇÃO DE PROJETO
Apresentaremos neste módulo as recomendações da ABNT NBR 6118:2014 para o detalhamento das armaduras longitudinais positivas e negativas para lajes maciças em concreto armado.
Veremos como são definidos os espaçamentos das barras, as armaduras longitudinais máximas e mínimas, as armaduras principal e secundária de flexão, o espaçamento e o diâmetro máximo das armaduras, as quantidades e os comprimentos mínimos de armaduras em bordas livres e aberturas, a armadura de tração sobre apoios e a armadura nos cantos de lajes retangulares, oferecendo ainda um exemplo de cálculo e apresentação em projeto.
Espaçamento entre barras: Para determinada área de aço necessária por unidade de largura da laje As [cm2/m], determina-se o espaçamento (s) entre as barras para uma barra escolhida de área Asϕ (cm2). Logo, a quantidade (n) de barras por metro de laje será:
Já o espaçamento será a largura unitária de um metro dividida pelo número de barras:
 
Armaduras longitudinais máximas e mínimas
A determinação da quantidade mínima e máxima de armaduras longitudinais é realizada com base nas equações apresentadas para os elementos lineares.
Como as lajes apresentam armadura nas duas direções (x e y), elas têm outros mecanismos resistentes; por isso, os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação aos elementos lineares (como as vigas).
ARMADURAS MÍNIMAS- Elas têm por finalidade melhorar o desempenho e a ductilidade à flexão e à punção, além de controlar a fissuração. Devem ser constituídas por barras com alta aderência (ηb ≥ 1, 5) ou por telas soldadas.
Os valores mínimos de armadura passiva aderente devem atender a: ρs ≥ ρmin para armaduras negativas; ρs ≥ 0, 67 ⋅ ρmin para armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções; ρs ≥ ρmin para armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção.
Em que ρs é a porcentagem mínima de armadura passiva aderente dada por:
Se As for por metro de laje, a largura b será igual a um metro. Por ora, utilizaremos a tabela da norma referente à taxa de armadura em função da classe do concreto para seções retangulares (adaptada na tabela 13). Para utilizar os valores dessa tabela, é necessário que tenham sido adotados no dimensionamento aço CA50, γc = 1, 4 e γs = 1, 15.
ARMADURAS MÁXIMAS- A soma das armaduras de tração e compressão (As e A’s) não deve ser superior a 4% da área de concreto da seção. Ela precisa ser calculada fora da região de emendas.
Armadura secundária (de distribuição) de flexão- Em lajes armadas em uma direção, de acordo com a figura a seguir, a armadura de distribuição (Asy) deve ser o menor valor entre: 20%; Asx 0, 9cm2/m
 Laje armada em uma direção.
E ρs ≥ 0, 5 ⋅ ρs,min
Espaçamento e diâmetro máximo- O espaçamento máximo (smax) entre barras da armadura principal de flexão na região dos maiores momentos fletores tem de respeitar simultaneamente os dois limites:
O diâmetro máximo de qualquer barra da armadura de flexão (∅max) deve ser:
Quantidade e comprimentos mínimos de armaduras em bordas livres e aberturas: Em bordas livres e junto às aberturas das lajes, as armaduras interrompidas devem respeitar a quantidade, os comprimentos mínimos e o detalhamento estabelecidos pela norma, como ilustra a imagem a seguir.
Armadura de tração sobre apoios: Em relação à armadura sobre os apoios, a recomendação da norma não foi mantida nas versões da NBR 6118 após 2003, porém, julgou-se adequado manter o que prescrevia a NBR 6118:1980,na qual, quando não se determinar o diagrama exato dos momentos negativos em lajes retangulares de edifícios com carga distribuída e q ≤ g, as barras da armadura principal sobre os apoios deverão estender-se conforme o diagrama de momentos fletores (já compatibilizado) de base igual ao valor indicado:
Armadura nos cantos de lajes retangulares e outras recomendações: A ABNT NBR 6118:2014 determina que, nas lajes maciças em que seja dispensada a armadura transversal, e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença de momentos volventes nas lajes, toda a armadura positiva deverá ser levada até os paios, não sendo permitido o escalonamento dessa armadura. Ela deve ser prolongada, no mínimo, 4cm além do eixo teórico do apoio.
Isso significa que as armaduras de lajes precisam ser continuas em sua direção e que nas barras da armadura longitudinal positiva das lajes não devem ser utilizados ganchos. Nas regiões de apoio das lajes, deve-se garantir boas condições de ductilidade.
Exemplo de aplicação prática: Para mostrar um exemplo de aplicação do detalhamento das armações das lajes, vamos considerar a planta da forma ilustrada adiante com as lajes 1, 2 e 3. A altura de todas elas é de 12cm, enquanto a vinculação adotada e os vãos teóricos estão representados na imagem.
Os momentos calculados para cada laje estão apresentados na tabela a seguir. A carga (p) solicitante em todas as lajes é de 5,56kN.m/m. Nesse projeto, será utilizado o concreto da classe C20 e o aço CA50, com cobrimento nominal de 2,5cm. As vigas apresentam largura igual a 12cm.
Confira a solução abaixo:
Determinação da altura útil mínima
· Armadura positiva
O maior momento positivo ocorre para L3, com mx = 9, 05kN ⋅ m/m. A altura útil mínima (dmin) será:
Vale lembrar que a base da laje é considerada igual a 1m; por isso, os cálculos são realizados por metro de laje. Eis a altura útil adotada para a armadura positiva:
Como dmin < d, OK!
· Armadura negativa
O maior momento positivo ocorre para L3, com m′x = 17, 15kN ⋅ m/m
. A altura útil mínima (dmin) será:
 Altura útil adotada para a armadura negativa:
Como dmin < d, OK!
Cálculo das armaduras longitudinais: Para o cálculo das armaduras positivas de lajes, existem duas alturas úteis, uma para cada direção. Recomenda-se que seja utilizada a menor altura útil, ou seja, da borda comprimida até o centro das barras da camada superior, conforme ilustra a imagem adiante. Assim, no cálculo de todas as armaduras, será empregada altura útil igual a 8cm; no caso das armaduras negativas, adotando um valor menor, estamos a favor da segurança.
Em lajes, consideramos a largura da base igual a 1,0m. Como a altura útil é maior que a útil mínima, o aço trabalhará com sua capacidade total, ou seja:
E, com isso, a resistência do aço será:
Os cálculos para o dimensionamento da laje têm por base as tabelas descritas na Introdução, no item “preparação”.
 
Considere m o valor do momento fletor de cálculo independentemente da direção e do sinal. Substituindo os valores, chegamos aos resultados apresentados na tabela a seguir:
· Detalhamento da armadura
Diâmetro máximo das barras:
Diâmetros utilizados:
Serão utilizadas barras de ∅ = 6, 3mm e ∅ = 10mm.
Armadura mínima para a seção retangular:
Espaçamento para a armadura mínima:
Considerando barras de ∅ = 6, 3mm:
 Considerando barras de ∅ = 10mm:
· Espaçamento máximo adotado
Para as armaduras positivas e negativas, serão adotados, de acordo com a norma, um espaçamento de: s ≤ 20cm
· Espaçamento das barras
A tabela a seguir apresenta as barras adotadas para cada situação, os espaçamentos calculados e os espaçamentos finais adotados.
· Comprimento e espaçamento das barras
A letra N e o número identificam as barras nas plantas do projeto.
· Armadura positiva
· Serão colocadas barras em todos os vãos das lajes (armadura corrida).
· As barras deverão penetrar por 7cm nos apoios (vigas).
· Largura das vigas = 12cm.
· As dimensões das lajes, em planta, estão relacionadas aos eixos das vigas.
· Para o comprimento das barras, será utilizada a equação:
· Comprimentos para a laje L1:
· Comprimentos para a laje L2:
· Comprimentos para a laje L3:
Armadura positiva
Todas as barras da armadura negativa têm diâmetro ∅ = 10mm.
Nas lajes adjacentes, será considerada a armadura referente ao maior momento.
Todas as lajes serão consideradas isoladas. Já a armadura, para todas as situações de vinculação, se estenderá no interior da laje a uma distância de 0, 25 ⋅ lx.
Ao comprimento deverá ser acrescentado o comprimento de ancoragem reto:
Para lb de lajes, usa-se a tabela a seguir:
Serão adotados, em todas as extremidades da armadura negativa, ganchos retos calculados de forma simplificada:
O valor a ser adotado é 7cm.
Comprimentos finais em cada laje:
· Espaçamento e comprimento das barras da armadura comuns às lajes L1 e L2
· Comprimento na laje L1: 0, 25 ⋅ 600 + 44 + 7 = 201cm
· Comprimento na laje L2: 0, 25 ⋅ 400 + 44 + 7 = 151cm
Comprimento total: 201 + 151 = 352cm (N5).
· Espaçamento e comprimento das barras da armadura comuns às lajes L1 e L3
· Comprimento na laje L1: 0, 25 ⋅ 600 + 44 + 7 = 201cm
· Comprimento na laje L3: 0, 25 ⋅ 500 + 44 + 7 = 176cm
Comprimento total: 201 + 176 = 377cm (N5).
· Espaçamento e comprimento das barras da armadura comuns às lajes L2 e L3
· Comprimento na laje L2: 0, 25 ⋅ 600 + 44 + 7 = 201cm
· Comprimento na laje L3: 0, 25 ⋅ 500 + 44 + 7 = 176cm
Comprimento total: 201 + 176 = 377cm.
Como L3 possui uma borda que faz interface com L1 e L2 e as armaduras de ambas possuem bitolas e espaçamentos iguais, serão adotadas as mesmas barras em toda a interface, com o comprimento da maior, ou seja, 377cm (N6).
· Quantidade (N) de barras para cada situação
A quantidade de barras é calculada dividindo-se a distância de eixo a eixo em uma direção pelo espaçamento (s) adotado. Por exemplo, o número de barras da armadura negativa entre as lajes L1-L2 será:
Esta imagem ilustra o detalhamento das armaduras positivas e negativas (tracejadas) do exemplo proposto.
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Um engenheiro, ao realizar o dimensionamento de uma laje, obteve como área de aço da armadura positiva, na direção x, o valor de 4,0cm²/m. Marque a opção que apresenta o espaçamento (s) que ele encontrou nos cálculos ao considerar a área de aço de 4,0cm²/m com barra de 10mm:
a) 10cm
b) 12cm
c) 16cm
d) 18cm
e) 20cm
2. Uma laje será submetida ao momento fletor solicitante de 12kN.m/m. Sabendo que ela será calculada considerando a resistência característica do concreto fck=25MPa, determine a altura útil mínima dessa laje:
	
a) 5,2cm
b) 5,8cm
c) 6,1cm
d) 6,7cm
e) 7,3cm
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