lista_exercicio_tamanda_lei_dos_senos_e_cossenos

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1. No paralelogramo ABCD da figura, as medidas dos segmentos AB e BC são, respectivamente, 4 cm e 6 cm, e a medida do ângulo formado por esses segmentos é 60°.
Qual a medida, em cm, da diagonal AC? Use 72,65
=
 
a) 5,1 
b) 5,3 
c) 5,6 
d) 6,2 
e) 6,8 
Resposta:
[B]
Pela Lei dos Cossenos, temos
$
222
2
22
ACABBC2ABBCcosABC
AC46246cos60
AC27
AC5,3cm.
=+-×××Þ
=+-×××°Þ
=Þ
@
 
 
2. Desejando-se cercar uma área plana na forma de um triângulo cujos vértices estão nos pontos X, Y e Z, ao iniciar a construção da cerca, verificou–se que a localização do ponto Y tinha desaparecido. O mapa indicava que o comprimento do lado XZ era 20 m e o comprimento do lado YZ era 30 m. Além disso, o ângulo (interno ao triângulo) entre ZX e XY era 120 graus. Nestas condições, pode-se afirmar corretamente que o comprimento do lado XY, em metros, é aproximadamente
Se precisar, use o número 49 como valor aproximado de 2400.
 
a) 13,6. 
b) 14,5. 
c) 14,0. 
d) 15,1. 
Resposta:
[B]
Sabendo que cos120cos60,
°=-°
 pela Lei dos Cossenos, vem
µ
222
2
22
2
2
YZXZXY2XZXYcosZXY
3020XY220XYcos120
2400
(XY10)
4
2400
XY10
2
XY14,5m.
=+-×××Û
=+-×××°Û
+=Þ
=-Þ
@
 
 
3. Os lados do triângulo ABC têm os seguintes comprimentos: AB tem comprimento 17, AC tem comprimento 34 e BC tem comprimento 38. 
Qual afirmação sobre o ângulo  = BAC é correta? 
a) O ângulo  é reto. 
b) O ângulo  é agudo e maior do que 60°. 
c) O ângulo  é menor ou igual a 60°. 
d) O ângulo  é obtuso. 
Resposta:
[B]
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo descrito, obtemos:
µ
µ
µ
µ
222
38173421734cosA
144428911561156cosA
11156cosA
1
cosA
1156
=+-×××
=+-×
-=-×
=
Como µ
0cosA0,5,
<<
 Podemos concluir que o ângulo  é agudo e maior do que 60°. 
 
4. Considerando a figura e que sen75
°
 é igual a 26
,
4
+
 calcula-se que a5(____)cm.
=
 
a) 32
+
 
b) 13
+
 
c) 2
 
d) 3
 
Resposta:
[B]
Aplicando a lei dos senos, chegamos a:
a56a56
sen75sen60
263
42
4a
1024a1021012
26
4a20203a553
a5(13)cm
=Þ=
°°
+
Þ=Þ=×+
+
Þ=+Þ=+
\=+
 
 
5. Jorge e Miguel estão jogando tênis. Jorge rebate a bolinha e esta percorre 16
 metros em linha reta. Miguel a devolve em linha reta com um ângulo de 30
°
 com a linha reta descrita pela bolinha após a rebatida de Jorge. Desta vez, a bolinha percorre 10
 metros. Que distância deverá percorrer Jorge para rebater a bolinha?
Use a aproximação: 31,7.
=
 
Resposta:
Sendo x
 a distância procurada, pela lei dos cossenos, obtemos:
222
2
x161021610cos30
1,7
x256100320
2
x84
x221cm
=+-×××°
=+-×
=
\=
 
 
6. O Porto do Itaqui, porto brasileiro localizado na cidade de São Luís do estado do Maranhão, é nacionalmente conhecido por ter uma das maiores amplitudes de maré do Brasil, podendo ultrapassar 7 metros.
O Itaqui é o 11º no ranking geral e o 6º entre os portos públicos em movimentação de cargas.
A profundidade de seu canal de acesso é de 23 metros. Frequentemente, existem navios atracando, descarregando, desatracando e à espera na baía de São Marcos.
Analise a imagem a seguir.
Considere a medida do ângulo ˆ
ACB60,
=°
 a distância AC igual a 5km
 e a distância CB igual a 8km.
 Nessas condições: (Use: cos600,5),
°=
 calcule a distância do navio A até o navio B, em km.
 
Resposta:
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo abaixo, obtemos a distância x entre o navio A e o navio B:
222
2
x58258cos60
x25642
=+-×××°
=+-
1
40
2
××
2
x49
x7km
=
\=
 
 
7. A medida, em graus, do maior dos ângulos internos de um triângulo, cujas medidas dos lados são, respectivamente, 3m,5m
 e 7m,
 é 
a) 120.
 
b) 80.
 
c) 130.
 
d) 100.
 
Resposta:
[A]
Seja ,
θ
 com 0180,
θ
°<<°
 o maior dos ângulos internos do triângulo. Tem-se que θ
 é oposto ao lado de maior medida, ou seja, 7m.
 Desse modo, pela Lei dos Cossenos, vem 
222
1
735235coscos
2
120.
θθ
θ
=+-×××Û=-
Û=°
 
 
8. Camas Hospitalares são móveis de grande importância para o tratamento de enfermos em hospitais, postos de saúde e residências. Elas são produzidas para facilitar os atendimentos e auxiliar na melhora do estado de saúde do paciente. 
A cama hospitalar manual tem características comuns que são a regulagem de elevação de dorso e a flexão dos joelhos que é feita por manivelas instaladas na parte da peseira da cama, podendo, assim, auxiliar o paciente a ficar na melhor posição possível. 
Disponível em: <http://orthoborges.com.br/camas-hospitalares/> Acesso em: 11/10/2017.
A imagem a seguir mostra uma cama hospitalar manual após a realização de dois movimentos: o movimento de elevação da cabeceira e o movimento de flexão dos joelhos. Se AB = EF = 0,6 m, AC = CE e a medida dos ângulos $
µ
ABC19,ACB53
=°=°
 e $
DFE90
=°
 e $
DEF41,
=°
 o comprimento do estrado da cama, quando está paralelo ao chão, é
Ângulo
seno
cosseno
tangente
19°
0,32
0,94
0,34
41°
0,65
0,75
0,87
53°
0,80
0,60
1,33
 
a) 1,60 m. 
b) 1,75 m. 
c) 1,88 m. 
d) 1,92 m. 
e) 2,00 m. 
Resposta:
[C]
Do enunciado, temos:
Aplicando a lei dos senos no triângulo ABC:
x0,6
sen19sen53
x0,6
0,320,80
x0,24m
=
°°
=
=
No triângulo DEF, temos:
0,6
cos41
y
0,6
0,75
y
y0,8m
°=
=
=
Logo, o comprimento do estrado da cama, quando está paralelo ao chão, é:
0,6m20,24m0,8m1,88m
+×+=
 
 
9. Ao coletar os dados para um estudo topográfico da margem de um lago a partir dos pontos A,
 B
 e T,
 um técnico determinou as medidas AT32m;
=
 BT13m
=
 e µ
AB1,
T
20
=°
 representadas no esquema abaixo.
Calcule a distância, em metros, entre os pontos A
 e B,
 definidos pelo técnico nas margens desse lago. 
Resposta:
Tem-se, pela Lei dos Cossenos, que a resposta é
µ
222
2
22
ABATBT2ATBTcosATB
1
AB321323213
2
AB1609
AB40m.
=+-×××Û
æö
=+-×××-Þ
ç÷
èø
=Þ
@
 
 
10. João está procurando cercar um terreno triangular que ele comprou no campo. Ele sabe que dois lados desse terreno medem, respectivamente, 10m
 e 6m
 e formam entre si um ângulo de 120.
°
 O terreno será cercado com três voltas de arame farpado. Se o preço do metro do arame custa R$5,00,
 qual será o valor gasto por João com a compra do arame?
Dados:
3
sende120
2
°=
1
cosde120
2
°=-
 
a) R$300,00
 
b) R$420,00
 
c) R$450,00
 
d) R$500,00
 
e) R$520,00
 
Resposta:
[C]
Pela lei dos cossenos:
22222
1
a1062106cos120a136120a196a14
2
Perímetro1061430m
3voltas90mcusto590450reais
æö
=+-×××°Þ=-×-Þ=®=
ç÷
èø
=++=
=Þ=×=
 
 
11. A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida.
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura.
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? 
a) 2,29. 
b) 2,33. 
c) 3,16. 
d) 3,50. 
e) 4,80. 
Resposta:
[D]
Pela Lei dos Cossenos, obtemos:
µ
222
22
BCACAB2ACABcosBAC
(0,8)120,81cos150
3
0,64120,8
2
1,640,81,7
3.
=+-×××
=+-×××°
æö
ç÷
=+-××-
èø
@+×
@
 
Logo, BC1,7
@
 e, portanto, o resultado é 10,81,73,5.
++=
 
 
12. Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km
 e 160km.
 Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.
Comessas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de 
a) 80253
×+×
 
b) 80523
×+×
 
c) 806
×
 
d) 80532
×+×
 
e) 8073
××
 
Resposta:
[B]
Sejam S,P,G
 e C,
 respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas. 
Sabendo que $
SPC60
=°
 e $
CPG90,
=°
 vem $
SPG150.
=°
 Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG,
 encontramos
$
222
22
SGSPPG2SPPGcosSPG
80160280160cos150
3
640025600212800
2
6400(523)
=+-×××
=+-×××°
æö
ç÷
=+-××-
ç÷
èø
=×+×
 
Portanto, SG80523km.
=×+×
 
 
13. Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a 
a) 817.
 
b) 1219.
 
c) 1223.
 
d) 2015.
 
e) 2013.
 
Resposta:
[B]
Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos 
µ
222
2
22
2
BCABAC2ABACcosBAC
1
BC362423624
2
BC1296576864
BC27361219km.
=+-×××Û
æö
=+-×××-Û
ç÷
èø
=++Þ
==
 
 
14. A figura seguinte mostra um triângulo retângulo ABC. O ponto M é o ponto médio do lado AB, que é a hipotenusa.
O valor de sen
α
 é 
a) 2425.
 
b) 56.
 
c) 12.
 
d) 32.
 
Resposta:
[A]
Como M é o ponto médio da hipotenusa do triângulo ABC, ele também é o seu circuncentro (centro da circunferência circunscrita ao triângulo). Dessa forma, temos que AMMBCM5.
===
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtemos:
222
2
22
ABACBC
106BC
BC10036
BC8
=+
=+
=-
=
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo BMC, obtemos:
222
222
BCCMMB2CMMBcos
855255cos
64252550cos
50cos14
7
cos
25
α
α
α
α
α
=+-×
=+-××
=+-
=-
=-
Logo:
22
2
sencos1
49
sen1
625
576
sen
625
24
sen
25
αα
α
α
α
+=
+=
=
\=
 
 
15. Considere os pontos S
 e P,
 que se deslocam em movimento retilíneo e com velocidade constante, sendo S
V1ms
=
 e P
V3,5ms.
=
 Eles partem no mesmo instante e se encontram no ponto A,
 conforme ilustrado abaixo.
Observe na tabela os valores aproximados de seno, cosseno e tangente de alguns ângulos:
α
15
°
16
°
17
°
18
°
19
°
20
°
seno
0,26
0,28
0,29
0,31
0,32
0,34
cosseno
0,98
0,97
0,96
0,95
0,945
0,94
tangente
0,28
0,29
0,31
0,325
0,34
0,36
Se o ângulo ˆ
ASP
 mede 105,
°
 a medida do ângulo agudo ˆ
APS,
 em graus, é: 
a) 16
 
b) 17
 
c) 18
 
d) 19
 
Resposta:
[A]
Se t
 é o tempo decorrido até o encontro, então SAt
=
 e PA3,5t.
=
 Logo, como sen(180)sencos(90),
βββ
°-==°-
 para 0,,
2
π
β
ùé
Î
úê
ûë
 pela Lei dos Senos, vem
$
µ
$
$
$
SAPAt3,5t
sen105
senSPAsenSPA
senPSA
sen75
senSPA
3,5
cos15
senSPA.
3,5
=Û=
°
°
Û=
°
Û=
Em consequência, sabendo que $
SPA90
<°
 e cos150,98,
°@
 temos
$
$
$
0,98
senSPAsenSPA0,28SPA16.
3,5
@Þ=Þ@°
 
 
16. Considere o triângulo a seguir. 
a) Quanto mede o ângulo ?
α
b) Quanto mede x?
 
Resposta:
a) 756018045
αα
+°+°=°Þ=°
b) Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado e admitindo que 45,
α
=°
 temos:
x823
x8
sen60sen4522
83
xx46
2
=Þ×=×Þ
°°
×
=Þ=×
 
 
17. Considerando que ABC é um triângulo tal que AC4cm,BC13cm
==
 e ˆ
A60,
=°
 calcule os possíveis valores para a medida do lado AB. 
Resposta:
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC, temos:
2
22
2
2
134x24xcos60
1
1315x8x
2
x4x30
=+-×××°
=+-×
-+=
Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = 1 ou x = 3.
Resposta: 1 cm ou 3 cm. 
 
18. A base de um triângulo isósceles mede 33cm
 e o ângulo oposto à base mede 120°. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 
a) 3. 
b) 2. 
c) 3.
 
d) 13.
+
 
e) 23.
-
 
Resposta:
[A]
Aplicando o teorema dos cossenos, temos:
(
)
2
22
22
2
2
33xx2xxcos120
1
272x2x
2
273x
x9
x3
=+-×××°
æö
=-×-
ç÷
èø
=
=
=±
Logo, a medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 3 cm. 
 
19. No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos0,934
a@
, onde a
é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 82
2393,4215 100
××@
, a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: 
a) 10. 
b) 50. 
c) 100. 
d) 250. 
e) 600. 
Resposta:
[E]
Considere a figura.
Sabendo que ET360km,
=
 ST320km,
=
 cos0,934
a@
 e que 82
2393,4215100,
××@
 pela Lei dos Cossenos, vem
222
2
22
2
225
2
82
2
ESETST2ETSTcos
ES36032023603200,934
ES129600102400223293,4
ES2320002393,4
ES232000215100
ES16900ES130km.
=+-×××aÞ
=+-×××Þ
=+-××××Û
=-××Þ
=-Þ
=Û=
Portanto, como 13
13minh,
60
=
 temos que a velocidade média pedida é dada por 
130
600kmh.
13
60
=
 
 
20. Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.
Visada
Ângulo
^
ACB
6
π
^
BCD
3
π
^
ABC
6
π
a) Calcule a distância entre A e B. 
b) Calcule a distância entre B e D. 
Resposta:
a) 
No triângulo ABC assinalado, temos:
222
22
2
2
15xx2xxcos120
1
2252x2x
2
2253x
x75
x53m
=+-×××°
æö
=--
ç÷
èø
=
=
=
b) 
No triângulo BDC, temos:
222
2
y151021510cos60
y225100150
y175
y57m
=+-×××°
=+-
=
=
 
 
21. a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum destes dados: 2
351225;
=
 2
361296;
=
 2
371369.
=
b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes medidas dos lados: 6cm,
 8cm,
 e 16cm.
 Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê? 
Resposta:
a) Calculando a medida x do lado que falta temos: 
x2 = 62 + 82 – 2×
6×
8×
cos60°
x = 52
x = 213
x 23,6
×
;
 (de acordo com as aproximações dadas)
x ;
7,2
Portanto, o perímetro das figuras será dado por P = 6 + 8 + 7,2 = 21,2.
b) Não, pois 16 > 6 + 8 (a medida do lado de um triângulo deve ser menor que a medida dos outros dois). 
 
22. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo µ
A
mede 45° e o ânguloµ
C
mede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é 
a) 86
3
 
b) 46
 
c) 823
+
 
d) 8(23)
+
 
e) 26
3
 
Resposta:
[B]
α=oooo
180754560
--=
Aplicando o teorema dos senos, temos:
oo
AC8
sen60sen45
23
AC.8.
22
AC46
=
=
=
 
 
23. A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200m do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito empregado em trabalhos topográficos),o topógrafo observou que os ângulos Bˆ
C
A e Cˆ
A
B mediam, respectivamente, 30º e 105º, conforme ilustrado na figura a seguir.
Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em metros, do ponto A ao ponto
B é de: 
a) 2002
 
b) 1802
 
c) 1502
 
d) 1002
 
e) 502
 
Resposta:
[D]
oo
x200
sen30sen45
21
x200
22
200
x
2
x1002m
=
×=×
=
=
 
 
Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:	20/06/2023 às 10:38
Nome do arquivo:	lista exercicio tamanda lei dos senos e cossenos
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova	Q/DB	Grau/Dif.	Matéria	Fonte	Tipo
 
1	204869	Baixa	Matemática	Upe-ssa 1/2022	Múltipla escolha
 
2	205583	Baixa	Matemática	Uece/2022	Múltipla escolha
 
3	208554	Baixa	Matemática	Pucrj/2021	Múltipla escolha
 
4	197720	Baixa	Matemática	Eear/2021	Múltipla escolha
 
5	195368	Baixa	Matemática	Fgv/2020	Analítica
 
6	202481	Baixa	Matemática	Uema/2020	Analítica
 
7	195182	Baixa	Matemática	Uece/2020	Múltipla escolha
 
8	214222	Baixa	Matemática	Integrado - Medicina/2018	Múltipla escolha
 
9	166211	Baixa	Matemática	Uerj/2017	Analítica
 
10	167642	Baixa	Matemática	Upe-ssa 1/2017	Múltipla escolha
 
11	124463	Baixa	Matemática	Ufsm/2013	Múltipla escolha
 
12	125106	Baixa	Matemática	Unesp/2013	Múltipla escolha
 
13	116735	Baixa	Matemática	Uftm/2012	Múltipla escolha
 
14	217141	Média	Matemática	Unicamp/2023	Múltipla escolha
 
15	171724	Média	Matemática	Uerj simulado/2018	Múltipla escolha
 
16	166360	Média	Matemática	Ufpr/2017	Analítica
 
17	130502	Média	Matemática	G1 - cftrj/2014	Analítica
 
18	130441	Média	Matemática	G1 - ifsp/2014	Múltipla escolha
 
19	108900	Média	Matemática	Unesp/2012	Múltipla escolha
 
20	110760	Média	Matemática	Unicamp/2012	Analítica
 
21	115147	Média	Matemática	Fgv/2012	Analítica
 
22	104247	Média	Matemática	Ufsm/2011	Múltipla escolha
 
23	95028	Média	Matemática	Ufpb/2010	Múltipla escolha