matematica para computação

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Unidade II 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO 
 
 
 
Prof. Chau Sen 
1. Funções 
Unidade II 
1. Funções: 
 1.1. Simetrias: translação, rotação e reflexão 
 1.2. Função afim 
 1.3. Variação do sinal da função 
 1.4. Função quadrática 
2. Função exponencial e logarítmica 
 2.1. Propriedades das funções exponenciais 
 2.2. Equações exponenciais 
 2.3. Logaritmos 
 2.4. Propriedades dos logaritmos 
1. Funções 
 2.5. Propriedades operacionais dos logaritmos 
 2.6. Função logarítmica 
 2.7. Equação logarítmica 
1. Funções 
 O conceito de função é um dos mais importantes, 
pois auxilia nos processos de modelagem de problemas, 
permite, entender como as variáveis se relacionam. Os 
símbolos que usamos para designar essas relações são as 
letras x (independentes), que podem assumir qualquer valor, 
e y (dependentes). As formas de descrição são: texto, tabela, 
fórmulas matemáticas, desenho ou gráfico. 
 Representação no Plano cartesiano, 
1962, Leibniz. Matemático e cientista alemão. 
Outras formas de representação: 
Tabelas 
 Pode-se representar a dependência entre as variáveis por 
meio de uma tabela de dados. 
Fórmulas algébricas 
 Podem descrever 
o comportamento 
 entre grandezas, 
além disso, fornece 
informações adicionais. 
1. Funções 
1. Funções 
1.1. Simetrias: translação, rotação e reflexão // Bloco I 
1.1.1. Simetria 
 A natureza apresenta vários casos de simetria 
(configurações simétricas). 
 As simetrias são importantes no estudo das funções. 
1.1.2. Translação 
 Corresponde a um deslocamento total (todos os pontos da 
figura se deslocam na mesma direção, no mesmo sentido e 
de uma mesma distância). Reflexão: ocorre por meio de 
uma reta chamada eixo. O ponto refletido e o ponto original 
apresentam a mesma distância em relação a esse eixo. 
1.1.3. Rotação 
 É o giro da figura em torno de algum ponto e de um 
determinado ângulo. 
1. Funções 
1.2. Função afim // Bloco I 
 A função afim pode ser definida como uma 
função polinomial do 1º grau, em que existe 
um termo dependente de x (variável dependente) 
e outro constante (independente de x). 
f(x) = ax + b 
 
1. Funções 
 Função linear 
 Exemplo que determina o perímetro de um quadrado de 
lado L. 
1. Funções 
 Função afim constante 
 f(x) = 4 
1. Funções 
 Funções simétricas y = x e y = -x 
1. Funções 
 Função com translação vertical 
 
 Interatividade 
 
Segundo as definições de função, escolha a alternativa correta 
para as questões abaixo: 
a) Uma função y = f(x) é decrescente num conjunto A se, para 
quaisquer x1 e x2 pertence ao conjunto A, com x1 < x2 e f(x1) 
< f(x2). 
b) Uma função y = f(x) é crescente num conjunto A se, para 
quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 
e f(x1) > f(x2). 
c) Qualquer que seja x pertencente ao Domínio f(x) = f(-x), 
podemos considerar que função f é par. 
d) Para A = {-2, -1, 0, 1} e B = {0, 1, 4} e f:AB definida por y = x2 +1. 
e) seja A = {0, 2, 3} e B = {1, 5, 7} e f:AB definida por y = 2x + 1, 
e não existe elemento de B que seja imagem de um elemento 
de A. 
1. Funções 
 1.3. Variação do sinal da função //Bloco I 
 Considere a função do 1º grau: f(x) = 2x – 2 
a) 1 é a raiz da função. 
b) A função é crescente. 
c) Para qualquer x real, 
x > 1, f(x) > 0 
d) Para qualquer x real, 
x < 1, f(x) < 0 
 
1. Funções 
 Análise da variação do sinal 
 Variação do sinal da função y = 2x – 2 
1. Funções 
 Análise da variação do sinal 
 Variação do sinal da função y = -x + 1 
a) 1 é a raiz da função. 
b) A função é decrescente. 
c) Para qualquer x real, x > 1, f(x) < 0 
d) Para qualquer x real, x < 1, f(x) > 0 
1. Funções 
 Análise da variação do sinal 
 Variação do sinal da função y = -x – 1 
1. Funções 
 Análise do gráfico da função f(x) = -2x + 2 
a) 1 é a raiz da função. 
b) A função é decrescente. 
c) Para qualquer x real, f(x) < 0 
d) Para qualquer x real, f(x) > 0 
 
Interatividade 
 
A função polinomial do 1º grau pode ser representada por 
meio de tabelas e gráficos. Além disso, existem diversos tipos 
de gráficos como resultado de suas atribuições de valores em 
suas variáveis independentes. Com base nessas informações, 
escolha a alternativa correta para as questões abaixo. 
a) O gráfico de uma função afim f(x) = ax + b é uma curva. 
Basta considerar dois pontos (x, y) do plano cartesiano. 
b) Um gráfico da função linear f(x) = ax é uma reta que contém 
a origem (0,0) do sistema cartesiano. 
c) O gráfico da função f(x) = b é sempre uma reta perpendicular 
ao eixo x, se b > 0, b = 0 e b < 0. 
 
Interatividade 
 
d) Considerando dois valores do domínio D (2 e 4) com 
2 < 4 para a função f(x) = -3x – 1,temos: f(2) = -7 e f(4) = -13. 
Então f(2) > f(4) e a função é crescente. 
e) Ao construir o gráfico da função y = x + 2 e y = 3x – 4, no 
resultado dessa construção gráfica o ponto (x, y) é uma 
paralela das duas retas. 
 
Resposta 
 
d) Considerando dois valores do domínio D (2 e 4) com 
2 < 4 para a função f(x) = -3x – 1,temos: f(2) = -7 e f(4) = -13. 
Então f(2) > f(4) e a função é crescente. 
e) Ao construir o gráfico da função y = x + 2 e y = 3x – 4, no 
resultado dessa construção gráfica o ponto (x, y) é uma 
paralela das duas retas. 
1. Funções 
 1.4. Função quadrática // Bloco I 
 Uma função quadrática é uma função do tipo f(x) = ax2 + bx 
+ c, em que a, b e c são constantes pertencentes ao 
conjunto dos números reais. 
 
 
1. Funções 
 Análise da função quadrática 
 
1. Funções 
 Análise da função quadrática 
1. Funções 
 Análise da função quadrática 
1. Funções 
 Análise do vértice de uma função quadrática 
 
 
 
Aplicação: 
 A área de um retângulo é de 64m2. Nessas condições, 
determine suas dimensões, sabendo que o comprimento 
mede (x + 6)m, e a largura, (x – 6)m. 
 
 
1. Funções 
 Solução 
 
 
Interatividade 
 
Segundo as definições de função quadrática ou função 
polinomial do 2º grau, escolha a alternativa correta para as 
questões abaixo. 
a) O gráfico de uma função do 2º grau ou quadrática é uma 
curva fechada chamada de parábola. 
b) Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os 
valores de x que não anulam a função, pois tornam f(x) = 0. 
c) Para a função quadrática y = x2 – 4x – 5, temos que x1 = -1 
e x2 = 5. 
d) Os zeros ou raízes de função f(x) = ax2 + bx + c são os 
valores de x para as quais f(x) < 0. 
e) Para que a função f(x) = x2 – 2x + 3k tenha dois zeros reais 
iguais, basta que o delta seja diferente de 0 (zero). 
2. Função exponencial e logarítmica 
2. Função exponencial 
 Uma função exponencial de base a, sendo a um número real 
(a > 0 e a ≠ 1), toda função f definida no conjunto dos 
números reais por: 
 Função crescente e a > 1 
2. Função exponencial e logarítmica 
 Função exponencial 
 Função decrescente a < 1 
2. Função exponencial e logarítmica 
 Análise da função exponencial 
 os gráficos nunca cruzam o eixo horizontal, ou seja, o eixo dos 
x, o que significa que a função não tem raízes; 
 os gráficos interceptam o eixo vertical, eixo y, no ponto (0,1); 
 os valores de y são sempre positivos, implicando que o 
Conjunto Imagem é formado somente pelos números reais 
positivos. 
 2.1. Propriedades das funções exponenciais 
 Existe uma constante muito importante na Matemática, tal 
que: 
 O número e é um número irracional positivo e, em função da 
definição do que seja a função exponencial, temos: 
2. Função exponencial e logarítmica 
 Esse número é estudado em Cálculo Diferencial e Integral 
(disciplina de nível superior). O valor de e foi obtido a partir da 
expressão ,definida no conjunto dos números reais, e 
calculando o valor que ela assume à medida que vai se 
aproximando de zero. 
 
 
 
 À medida que x vai diminuindo, esse limite tende a ficar cada 
vez mais próximo do número 2,7183. Essa é a aproximação 
para e. 
2. Função exponencial e logarítmica 
 2.2. Equações exponenciais 
Uma equação exponencial é toda equação que contém a 
incógnita no expoente. Por exemplo: 
 
 
2. Função exponencial e logarítmica 
 2.3. Logaritmos 
 Formalizada pelo escocês John Napier (1550-1617), a Teoria 
dos Logaritmos permite descrever vários fenômenos da 
natureza e resolução de vários problemas complexos na 
Matemática (medidas de níveis sonoros, medidas de 
intensidade de um terremoto, em Astronomia, para 
medir a intensidade do brilho de estrelas etc.). 
Definição matemática: 
2. Função exponencial e logarítmica 
 2.4. Propriedades dos logaritmos 
2. Função exponencial e logarítmica 
 2.5. Propriedades operacionais dos logaritmos 
2. Função exponencial e logarítmica 
 2.6. função logarítmica 
 
2. Função exponencial e logarítmica 
 Análise da função logarítmica 
 
2. Função exponencial e logarítmica 
 2.7. Equação logarítmica 
 As equações logarítmicas são aquelas em que a incógnita x 
apresenta-se na base de um logaritmo ou no logaritmando. 
Para resolver essas equações, devemos usar as 
propriedades dos logaritmos. 
 
 
 
Interatividade 
Uma função exponencial ou logarítmica pode ser útil em diversas 
soluções do dia a dia. Com base nessas informações, escolha a 
alternativa correta para as questões abaixo. 
a) Chama-se equação exponencial toda equação que contém 
variáveis no expoente, e seu estudo está relacionado com 
a potenciação. 
b) Para an = a.a.a....a, então, se (a) é um número real e (n) é inteiro 
e negativo, a expressão não representa o produto de (n) fatores 
todos iguais a (a). 
c) Para resolver uma equação exponencial, devemos transformar 
a equação dada em igualdade de mesma expoente. 
 
Interatividade 
d) A solução da equação (2/3)x = 8/27 e a sua solução é 4. 
e) O logaritmo de um número real e positivo b, na base a, 
positiva e diferente de 1 é o número x ao qual se deve 
elevar (a) para se obter (x). 
 
 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
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	2. Função exponencial e logarítmica
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