P1 MQE 2022 1 GABARITO (1)

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Métodos Quantitativos em Economia 
Prof. Paulo Sérgio Coelho 
 
Primeira Avaliação – 03/08/2022 
 
Nome:_________________________________________________________________ 
 
Matrícula: _______________________________ 
 
 
As funções de oferta e de demanda de mercado de três mercadorias são modeladas assim: 
 
{
𝑄𝑑1 = −3 + 4𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3
𝑄𝑠1 = −2 + 5𝑃1
 {
𝑄𝑑2 = −7 + 𝑃1 + 5𝑃2 − 𝑃3
𝑄𝑠2 = −2 + 4𝑃2
 {
𝑄𝑑3 = 6 + 𝑃1 − 2𝑃2
𝑄𝑠3 = 6 − 𝑃3
 
 
 
1) Mostre como, para obter o ponto de equilibro, pode ser modelado em um sistema de apenas 3 
equações e com apenas três variáveis: 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3 
 
{
−𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 = 1
𝑃1 + 𝑃2 − 𝑃3 = 5
𝑃1 − 2𝑃2 + 𝑃3 = 0
 
 
2) Mostre como fica o problema acima na forma matricial 𝐴𝑥 = 𝑏 
(
−1 1 1
1 1 −1
1 −2 1
)(
𝑃1
𝑃2
𝑃3
) = (
1
5
0
) 
 
3) Qual o determinante da matriz 𝐴 obtida acima? 
|𝐴| = −4 
 
4) Qual é a matriz 𝐴−1? 
𝐴−1 =
1
|𝐴|
Adj(𝐴) =
1
−4
(
−1 −3 −2
−2 −2 0
−3 −1 −2
) =
(
 
 
 
1
4
3
4
1
2
1
2
1
2
0
3
4
1
4
1
2)
 
 
 
 
 
5) Use a matriz 𝐴−1 para obter os preços de equilíbrio 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3. Mostre também como ficam as 
quantidades demandadas e ofertadas dos três produtos. 
(
𝑃1
𝑃2
𝑃3
) = 𝐴−1 × (
1
5
0
) =
(
 
 
 
1
4
3
4
1
2
1
2
1
2
0
3
4
1
4
1
2)
 
 
 
× (
1
5
0
) = (
4
3
2
) 
 
𝑄𝑑1 = 𝑄𝑠1 = 18, 𝑄𝑑2 = 𝑄𝑠2 = 10, 𝑄𝑑3 = 𝑄𝑠3 = 4. 
 
6) Um modelo de mercado é como descrito abaixo. Utilize o Método de Cramer para encontrar a 
condição de equilíbrio desse mercado. Qual a quantidade total de mercadorias na condição de 
equilíbrio? (3,0 pontos) 
 
{
−2𝑃1 + 2𝑃2 − 𝑃3 = −10
𝑃1 − 4𝑃2 + 2𝑃3 = −10
2𝑃1 + 𝑃2 − 3𝑃3 = −25
 
 
(
−2 2 −1
1 −4 2
2 1 −3
)(
𝑃1
𝑃2
𝑃3
) = (
−10
−10
−25
) 
Calculando os determinantes: 
 𝐷 = |
−2 2 −1
1 −4 2
2 1 −3
| = −15 
𝐷1 = |
−10 2 −1
−10 −4 2
−25 1 −3
| = −150, 𝐷2 = |
−2 −10 −1
1 −10 2
2 −25 −3
| = −225 e 
𝐷3 = |
−2 2 −10
1 −4 −10
2 1 −25
| = −300. 
Então, 
 
𝑃1 =
𝐷1
𝐷
= −
150
−15
= 10, 𝑃2 =
𝐷2
𝐷
= −
225
−15
= 15 e 𝑃3 = −
300
−15
= 20 
 
Sabe-se então que 𝑄𝑑1 = 𝑄𝑠1 = 3, 𝑄𝑑2 = 𝑄𝑠2 = 22 e 𝑄𝑑3 = 𝑄𝑠3 = 10. 
 
 
7) Uma empresa modelo que a quantidade vendida q de um certo produto gira em função do seu preço 
𝑝, desta forma: 𝑞 = 2𝑝 − 8 . Modelou também que o seu Lucro Total é 𝐿 = 𝑝2 − 9𝑝 + 20 . Apesar 
da função de quantidade vendida não estar bem definida para 𝑝 < 4 , pois resulta em quantidade 
negativa, esta empresa está especialmente interessada em estimar quanto tende a ser o seu lucro 
unitário quando o preço tende a ser $4. (2,0 pontos)