Tarea 1

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Tarea 1
Estructuras Algebraicas I - IMA 1302
Nombre: Diego Gárate Sanfuentes
Problema 1 Sea G =
{[
a b
0 1
]
: a ∈ R− {0} , b ∈ R
}
y la operación ∗ el producto de matrices usual.
Determine todas las propiedades que satisface el conjunto G con la operación ∗
Solución: Analicemos las propiedades. Consideremos las matrices A =
[
a b
0 1
]
, B =
[
c d
1 0
]
y
C =
[
e f
0 1
]
en G:
a) ¿G es cerrada con ∗? Notemos que:
A ∗B =
[
a b
0 1
]
∗
[
c d
0 1
]
=
[
ac ad+ b
0 1
]
∈ G
Luego, G es cerrada con la operación ∗.
b) ¿G es asociativa con ∗? Notemos que:
(A ∗B)∗C =
([
a b
0 1
]
∗
[
c d
0 1
])
∗
[
e f
0 1
]
=
[
ac ad+ b
0 1
]
∗
[
e f
0 1
]
=
[
ace acf + ad+ b
0 1
]
A∗(B ∗ C) =
[
a b
0 1
]
∗
([
c d
0 1
]
∗
[
e f
0 1
])
=
[
a b
0 1
]
∗
[
ce cf + d
0 1
]
=
[
ace acf + ad+ b
0 1
]
Entonces, (A ∗B) ∗ C = A ∗ (B ∗ C), por lo que G es asociativa con la operación ∗.
c) ¿G posee neutro con ∗? Consideremos I2 =
[
1 0
0 1
]
∈ G. Note que:
A ∗ I2 =
[
a b
0 1
]
∗
[
1 0
0 1
]
=
[
a b
0 1
]
I2 ∗ A =
[
1 0
0 1
]
∗
[
a b
0 1
]
=
[
a b
0 1
]
Luego, existe I2 ∈ G tal que A ∗ I2 = I2 ∗ A = A
d) ¿G posee inversos con ∗? Necesitaremos encontrar una matriz D ∈ G tal que A ∗D = D ∗A = I2,
donde I2 corresponde al neutro encontrado en c. Consideremos entonces D =
[
x y
0 1
]
. Note que
A ∗D = I2 ⇔
[
a b
0 1
]
∗
[
x y
0 1
]
=
[
1 0
0 1
]
1
(Aclaración: Un paso en falso podŕıa haber sido decir que con el hecho de que cualquier elemento
de G es invertible -que de hecho lo son, pues detA ̸= 0 para todo A ∈ G-, entonces existe inverso.
Pero la idea es encontrar un inverso en G (que sea un elemento en G), cosa que no sabŕıamos
conclúır si solo analizamos invertibilidad).
De la igualdad tenemos que [
ax ay + b
0 1
]
=
[
1 0
0 1
]
de donde:
ax = 1
ay + b = 0
∣∣∣∣∣
resultándonos
x =
1
a
, y = − b
a
Veamos si D =
[
1
a
− b
a
0 1
]
cumple con ser el inverso de la matriz A:
A ∗D ?= D ∗ A[
a b
0 1
]
∗
[
1
a
− b
a
0 1
]
?
=
[
1
a
− b
a
0 1
]
∗
[
a b
0 1
]
[
1 0
0 1
]
=
[
1 0
0 1
]
I2 = I2
por lo que existe D ∈ G tal que A ∗D = D ∗ A = I2.
e) ¿G es conmutativa con ∗? No. Consideremos las matrices E =
[
1 3
0 1
]
y F =
[
4 2
0 1
]
en G.
Note que:
E ∗ F =
[
1 3
0 1
]
∗
[
4 2
0 1
]
=
[
4 5
0 1
]
F ∗ E =
[
4 2
0 1
]
∗
[
1 3
0 1
]
=
[
4 14
0 1
]
Como existen al menos dos matrices E y F en G tales que E ∗ F ̸= F ∗E, se tendrá que G no es
conmutativa con ∗.
Dado que G es cerrada, asociativa, posee neutro e inverso con la operación ∗, (G, ∗) tiene estructura de
grupo, y como no se cumple conmutatividad, no es grupo abeliano.
Problema 2 Sea (G, ·) un grupo abeliano y fijemos n ∈ Z. Pruebe que H = {x ∈ G : xn = 1} es un
subgrupo de G.
Solución: Probaremos que H ≤ G ocupando la caracterización de subgrupo: Observe que el elemento
identidad de G satisface 1n = 1, por lo que 1 ∈ H.
2
Ahora, supongamos que x, y están en H, por lo que xn = 1 y yn = 1. Consideremos (xy)n. Por hipótesis
se tendrá que (G, ·) es un grupo abeliano. En ese sentido:
(xy)n = ynxn = xnyn = 1 · 1 = 1
Luego, x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H.
Finalmente, supongamos que x ∈ H, por lo que xn = 1. En ese sentido, consideremos el elemento
(x−1)
n
. Entonces: (
x−1
)n
= x(−1)n = xn·(−1) = (xn)−1 = 1−1 = 1
Luego, se tiene que x−1 ∈ H.
Por lo tanto, como se verificaron las tres propiedades, se concluye que H es un subgrupo de G.
Problema 3 Considere G = Z/36Z:
a) Determine todos los generadores de G.
b) Determine todos los subgrupos de G.
c) Realice un ret́ıculo con todos los subgrupos de G.
Solucion: Necesitamos encontrar todos los generadores y subgrupos de Z/36Z. Primeramente note que
36 = 32 · 22, por lo que basta con analizar todos los divisores de 36 en cuanto a los generadores. De este
modo, tendremos que encontrar primeramente todos los elementos de Z/36Z que generan el grupo ćıclico
Z/36Z. Dado que mcd (36, 1) = 1, se tendrá que Z/36Z es un grupo ćıclico generado por el elemento 1,
el cual tiene orden 36; es decir, cada elemento de Z/36Z puede escribirse como una potencia de 1. Note
además que:
mcd (36, 1) = 1 mcd (36, 13) = 1 mcd (36, 25) = 1
mcd (36, 5) = 1 mcd (36, 17) = 1 mcd (36, 29) = 1
mcd (36, 7) = 1 mcd (36, 19) = 1 mcd (36, 31) = 1
mcd (36, 11) = 1 mcd (36, 23) = 1 mcd (36, 35) = 1
Luego, se cumple que:
⟨1⟩ = ⟨5⟩ = ⟨7⟩ = ⟨11⟩ = ⟨13⟩ = ⟨17⟩ = ⟨19⟩ = ⟨23⟩ = ⟨25⟩ = ⟨29⟩ = ⟨31⟩ = ⟨35⟩ = Z/36Z
Note que mcd (36, 2) = 2, por lo cual ⟨2⟩ tiene orden 36
mcd(36,2)
= 18. Además:
mcd (36, 2) = 2 mcd (36, 14) = 2 mcd (36, 26) = 2
mcd (36, 10) = 2 mcd (36, 22) = 2 mcd (36, 34) = 2
Luego, se cumple que:
⟨2⟩ = ⟨10⟩ = ⟨14⟩ = ⟨22⟩ = ⟨26⟩ = ⟨34⟩ =
{
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34
}
Note que mcd (36, 3) = 3, por lo cual ⟨3⟩ tiene orden 36
mcd(36,3)
= 12. Además:
mcd (36, 3) = 3 mcd (36, 15) = 3 mcd (36, 27) = 3
mcd (36, 9) = 3 mcd (36, 21) = 3 mcd (36, 33) = 3
Por lo que:
⟨3⟩ = ⟨15⟩ = ⟨21⟩ = ⟨27⟩ = ⟨33⟩ =
{
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33
}
3
Note que mcd (36, 4) = 4, por lo cual ⟨4⟩ tiene orden 36
mcd(36,4)
= 9. Además:
mcd (36, 4) = 4 mcd (36, 16) = 4 mcd (36, 28) = 4
mcd (36, 8) = 4 mcd (36, 20) = 4 mcd (36, 32) = 4
Luego:
⟨4⟩ = ⟨8⟩ = ⟨16⟩ = ⟨20⟩ = ⟨28⟩ = ⟨32⟩ =
{
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
}
Note que mcd (36, 6) = 6, por lo cual ⟨6⟩ tiene orden 36
mcd(36,6)
= 6. Además:
mcd (36, 6) = 6 mcd (36, 30) = 6
Luego, ⟨6⟩ = ⟨30⟩ = {0, 6, 12, 18, 24, 30}
Note que mcd (36, 9) = 9, por lo cual ⟨9⟩ tiene orden 36
mcd(36,9)
= 4. Luego, ⟨9⟩ =
{
0, 9, 18, 27
}
Note que mcd (36, 12) = 12, por lo cual ⟨12⟩ tiene orden 36
mcd(36,12)
= 3. Además:
mcd (36, 12) = 3 mcd (36, 24) = 3
Luego, ⟨12⟩ = ⟨24⟩ =
{
0, 12, 24
}
Note que mcd (36, 18) = 18, por lo cual ⟨18⟩ tiene orden 36
mcd(36,18)
= 2. Luego:
⟨18⟩ =
{
0, 18
}
Y ⟨0⟩ =
{
0
}
El ret́ıculo de subespacios de Z/36Z es:
Z/36Z
⟨2⟩
⟨3⟩
⟨4⟩
⟨6⟩
⟨9⟩
⟨18⟩
⟨12⟩
⟨0⟩
4