Control 3

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Estructuras Algebraicas I
Pauta Control 3
1. (6 pts c/u) Considere el subgrupo G = 〈(1234)〉 de S4. Sea X = {1, 2, 3, 4} . Considere la
función:
• : G×X → X definida por σ • x = σ(x).
a) Demuestre que la función es una acción.
Demostración: Sea σ, τ ∈ G, x ∈ X entonces:
(τ ◦ σ) • x = (τ ◦ σ)(x)
= τ(σ(x))
= τ • (σ • x)
id • x = id(x) = x.
Luego, la función es una acción.
b) Determine todos los elementos de G.
Desarrollo: G = {(1234), (13)(24), (1432), id}.
c) Determine el estabilizador de 1 y 3.
Desarrollo:
Stab(1) = {σ ∈ G : σ • 1 = 1} = {id}.
Stab(3) = {σ ∈ G : σ • 3 = 3} = {id}.
d) Determine todas las órbitas distintas.
Desarrollo:
Orb(1) = {σ • 1 : σ ∈ G}
= {σ(1) : σ ∈ G}
= {2, 3, 4, 1}
= X
e) ¿Es una acción transitiva?
Desarrollo: La acción es transitiva porque hay solo una órbita.
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2. (8-10-8-4 pts) Considere la función • : Z× Z13 → Z13 definida por n • a = 4
n · a.
a) Demuestre que la función es una acción.
Demostración: Sean n,m ∈ Z, a ∈ Z13, entonces:
m • (n • a) = m • (4n · a)
= 4m · 4n · a
= 4m+n · a
= (m+ n) • a
0 • a = 40 · a = 1 · a = a
Luego, la función es una acción.
b) Determine todas las órbitas distintas.
Desarrollo:
Orb(0) = {n • 0 : n ∈ Z} = {4n · 0 : n ∈ Z} = {0}
Orb(1) = {n • 1 : n ∈ Z} = {4n · 1 : n ∈ Z} = {1, 4, 3, 12, 9, 10}
Orb(2) = {n • 2 : n ∈ Z} = {4n · 2 : n ∈ Z} = {2, 8, 6, 11, 5, 7}
c) Graficar la(s) órbita(s) encontradas en el ı́tem b,
d) ¿Es la acción transitiva?
Desarrollo: La acción no es transitiva pues existen 3 órbitas distintas.
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