Problemas de calculo vectorial-9

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0.3 Coordenadas polares, cilı́ndricas y esféricas 25
134 (0, 1, 1).
135 (0, 0,−2).
136 (1, 1, 1).
137 (1, 0, 1).
Solución 136:
El cambio de coordenadas cartesianas a esféricas se lleva a cabo mediante
las fórmulas
ρ =
√
x2 + y2 + z2, θ = arctan
(
y
x
)
,
φ = arc cos
(
z√
x2+y2+z2
)
.
En este caso concreto se obtiene
ρ =
√
3, θ = π4 , φ = arc cos
(
1√
3
)
.
� Convertir las siguientes coordenadas esféricas a cartesianas:
138 (3, π3 ,
π
2 ).
139 (8, π6 , π).
140 (1, π2 ,
π
2 ).
141 (2, π3 , 0).
Solución 139:
En este caso las fórmulas del cambio son
x = ρ cos θ senφ, y = ρ sen θ senφ, z = ρ cosφ.
Luego obtenemos
x = 8 cos
(
π
6
)
senπ = 0, y = 8 sen
(
π
6
)
senπ = 0, z = 8 cosπ = −8.
� Encontrar la ecuación polar de las curvas siguientes
142 x2 + y2 = 25.
143 y2(2a− x) = x3, a > 0.
144 x2 − y2 = 1.
145 y2 = x.
146 xy = 1.
147 x+ y = 4.
Solución 143:
Para encontrar la ecuación polar de una curva dada en coordenadas
cartesianas no hay más que introducir las fórmulas del cambio en la
ecuación de la curva, simplificar cuando sea posible, e intentar dar r en
26 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables26 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables26 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables
función de θ teniendo en cuenta las restricciones que debemos imponer
para que el radio r sea no negativo. En concreto, tenemos
r2 sen2 θ(2a− r cos θ) = r3 cos3 θ.
Después de unas cuantas manipulaciones y simplificaciones, y notando
que cos2 θ + sen2 θ = 1, se llega a
r =
2a sen2 θ
cos θ
.
Puesto que r ≥ 0, debemos exigir que cos θ > 0. Esta condición se da
cuando −π2 < θ < π2 .
� Encontrar la ecuación en coordenadas cartesianas de las siguientes expre-
siones polares:
148 r = 3.
149 θ = 3π4 .
150 r2 = | cos(2θ)|.
151 r = 3 sec θ.
Solución 150:
Si multiplicamos la ecuación por r2 y notamos que cos(2θ) = cos2 θ −
sen2 θ, llegamos a
r4 =
∣∣r2 cos2 θ − r2 sen2 θ∣∣ ,
de modo que
(x2 + y2)2 =
∣∣x2 − y2∣∣ .
� Encontrar los puntos de intersección de los pares de curvas siguientes,
expresadas en coordenadas polares:
152 r = 2, r = cos θ. 153 r = sen θ, r2 = 3 cos2 θ.
Solución 153:
Si elevamos al cuadrado la primera ecuación e igualamos las dos expre-
siones para r2 se obtiene la ecuación
3 cos2 θ = sen2 θ,
cuyas soluciones deben satisfacer
arctan θ = ±
√
3,
0.3 Coordenadas polares, cilı́ndricas y esféricas 27
es decir, θ = ±π3 , 2π3 , 4π3 . No obstante, observamos que los ángulos θ =
−π3 , 4π3 dan un valor negativo para el seno, y en consecuencia para r en la
primera ecuación. Como esto no es posible debemos descartar estos dos
valores. Los puntos de intersección serán por tanto los correspondientes
a θ = π3 ,
2π
3 , es decir,
(√
3
4 ,
3
4
)
y
(
−
√
3
4 ,
3
4
)
.
� Esbozar las curvas cuya ecuación en coordenadas polares es:
154 r = a2| cos(2θ)|.
155 r = a(1 + cos θ).
156 r = 2 + cos θ.
157 r = a| cos(2θ)|.
158 r = a| sen(3θ)|.
159 r = eθ/2.
160 rθ = a.
161 r = a| cos(3θ)|.
162 r = a| sen(2θ)|.
163 r = 2a sen θ tan θ.
164 r2 = a2 cos θ.
Solución 155:
La técnica seguida para representar curvas en polares consiste en anali-
zar la variación del radio vector r en función del ángulo θ. Por ejemplo,
para la ecuación r = a(1 + cos θ) para a = 2 observamos que la función
en un plano cartesiano (θ, r) definida por tal ecuación viene representa-
da en la Figura 6a. Vemos por tanto que para el ángulo θ = 0 estamos
a distancia r = 4, luego la curva parte del punto (4, 0) (Figura 6b). A
medida que θ evoluciona hasta π2 , el radio vector disminuye hasta dis-
tancia 2 (luego alcanzará el punto (0, 2)), y posteriormente a r = 0 para
θ = π (llegando por tanto al origen). A partir de aqúı repite el mismo
proceso en la dirección opuesta (el radio vector crece desde r = 0 a r = 4
a medida que θ se mueve entre π y 2π).
165 Una superficie está descrita en coordenadas ciĺındricas por la ecuación
3r2 = z2 + 1. Convertir a coordenadas cartesianas y dibujar.
166 Escribe la ecuación de la esfera unitaria en coordenadas ciĺındricas.
167 Escribe la ecuación del cilindro circular recto x2 + y2 = 9 en coordenadas
esféricas.
� Describir los conjuntos del espacio dados por las siguientes ecuaciones
expresadas en las coordenadas indicadas: