Problemas de calculo vectorial-11

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FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES. ĹIMITE Y
CONTINUIDAD
Caṕıtulo
1
En este tema se encuentran ejercicios que permiten establecer un primer
contacto con las funciones de varias variables, estudiando su dominio, curvas
de nivel y representación gráfica, para lo cual es preciso tener un buen manejo
de los conjuntos del plano y del espacio que se han tratado en el tema anterior.
Posteriormente se presenta ejercicios relacionados con el calculo de ĺımites
bidimensionales y la continuidad de funciones.
1 1
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
� Estudiar el dominio de las siguientes funciones:
189 f(x, y) = 2x−sen y1+cos x .
190 f(x, y) = x+ytan(x+y) .
191 f(x, y) = x
2+y2
(x+y) log x .
192 f(x, y) = x sen 1x2+y2 .
193 f(x, y) = 1log x log y .
194 f(x, y) = arc sen x2 +
√
xy.
195 f(x, y) = log(x+ y).
196 f(x, y) = ysen x.
197 f(x, y) = log(log(x− y)).
198 f(x, y) = (x2 − y)x.
199 f(x, y) =
√
y senx.
200 f(x, y) = x+ arc cos y.
201 f(x, y) = logx+y(xy).
202 f(x, y) = log2x−y(x+ 3y).
203 f(x, y) = x+yx2+y2−1 .
204 f(x, y, z) = 2x+y−zx2+y2+z2−1 .
205 f(x, y, z) = zx2−4y2−1 .
206 f(x, y) =
√
x2 + y2 − 2x− 3.
207 F(x, y) =
(
y2 sen xy , x
2 sen yx , 1
)
.
208 F(x, y) =
(√
x2 + y
2
4 − 1, log(y − x2)
)
.
Solución:
32 Capı́tulo 1 Funciones de varias variables. Lı́mite y continuidad32 Capı́tulo 1 Funciones de varias variables. Lı́mite y continuidad32 Capı́tulo 1 Funciones de varias variables. Lı́mite y continuidad
190 El cociente que define la función f(x, y) estará definido salvo cuan-
do el denominador se anule, es decir, cuando tan(x+ y) = 0. Esto
sucede si x + y = kπ con k un entero arbitrario. Luego el domi-
nio será todo el plano con excepción del conjunto infinito de rectas
paralelas de ecuación x+ y = kπ.
193 El cociente que define f(x, y) deja de tener sentido cuando el
denominador es nulo o no está definido. Aśı debemos excluir las
puntos en que x ≤ 0 e y ≤ 0. Además, debemos excluir también
los puntos en que log x = 0, es decir x = 1, y del mismo modo
y = 1. En definitiva el dominio de esta función es la unión de los
conjuntos
(0, 1)× (0, 1), (0, 1)× (1,+∞), (1,+∞)× (0, 1),
(1,+∞)× (1,+∞).
197 En este caso, debemos exigir que el argumento del primer loga-
ritmo, log(x − y), sea un número estrictamente positivo, es decir
log(x−y) > 0. Esto, a su vez sucede si el argumento de este segun-
do logaritmo es superior a 1. El dominio será por tanto x− y > 1
que representa el semiplano por encima de la recta y = x− 1.
198 En una función definida como una potencia en que la base y
el exponente son a su vez funciones, entendiéndola a través del
logaritmo
(x2 − y)x = ex log(x2−y)
vemos con claridad que la única restricción que debemos imponer
en este caso concreto es que el argumento del logaritmo (la base de
la potencia) sea estrictamente positivo. Luego el dominio corres-
ponderá a la región en que x2 − y > 0. Se trata de la zona debajo
de la parábola y = x2.
202 Teniendo en cuenta la propiedad que relaciona los logaritmos na-
turales con los logaritmos en cualquier otra base
loga b =
log b
log a
,
podemos expresar la función f(x, y) como el cociente
log(x+ 3y)
log(2x− y) ,
y a partir de esta expresión es inmediato deducir el dominio de f ,
({2x− y > 0} ∪ {x+ 3y > 0})− {2x− y = 1}.
1.1 Funciones de varias variables 33
209 Sea f : R2 → R la función f(x, y) = x2 + y2. Hallar f(1, 0), f(0, 1) y
f(1, 1). ¿Qué puntos de R2 verifican f(x, y) = 0? ¿Cuál es la imagen por
f del disco de radio 2?
210 Sea f : R3 → R la función definida por f(x, y, z) = e−(x2+y2+z2). Calcular
f(0, 0, 0), f(±1,±1,±1). ¿Dónde manda f los puntos de la superficie de la
esfera unitaria? ¿Qué ocurre con los valores de f cuando ‖(x, y, z)‖ → ∞?
� Estudiar las curvas de nivel de las siguientes funciones:
211 f(x, y) = |x| − y.
212 f(x, y) = x− |y|.
213 f(x, y) = |x− y|.
214 f(x, y) = 2xx2+y2 .
215 f(x, y) = 2yx2+y2 .
216 f(x, y) = y sgn(x).
217 f(x, y) = (x− 1)(y − 2).
218 f(x, y) = x
2
4 +
y2
16 .
219 f(x, y) = xyx2+y2 .
220 f(x, y) = x
2+y2
x2−y2 .
221 f(x, y) = (x2 + y2 + z2)−1.
222 f(x, y) = x+ y2.
223 f(x, y) = x
√
y.
224 f(x, y) = exy.
225 f(x, y) = xy.
226 f(x, y) = yx .
227 f(x, y) = x+yx2+y2+1 .
Solución:
213 Para esta función f las curvas de nivel corresponden a los puntos
del plano que verifican |x− y| = k. Evidentemente k ≥ 0, es decir,
las curvas para k < 0 son vaćıas. Observemos que si k > 0, la
igualdad |x− y| = k se desdobla en las dos igualdades
x− y = k, x− y = −k,
es decir la curva de nivel a altura k consta de las dos rectas paralelas
anteriores. Si k = 0 entonces la curva de nivel correspondiente es
la recta y = x (Figura 7a).
216 Teniendo en cuenta que la función signo, sgn(x), vale 1 si x > 0,
−1 si x < 0 y 0 si x = 0, y razonando con un poco de calma las
distintas posibilidades, no es complicado llegar a la conclusión que
las curvas de nivel a altura k constan de dos partes
y = k, x > 0 e y = −k, x < 0,
si k 6= 0. Si k = 0, la curva de nivel es la unión de los dos ejes
(Figura 7b).
	Funciones de varias variables. Límite y continuidad
	Funciones de varias variables