Problemas de calculo vectorial-19

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2.1 Derivadas parciales 55
comprobar que admite derivadas direccionales en el origen según cualquier
vector unitario (v1, v2). ¿Es f diferenciable en el origen?
Solución 376:
Es inmediato comprobar que f es continua en el origen estudiando el
ĺımite cuando (x, y) → (0, 0) mediante coordenadas polares. Por otro
lado los ĺımites que definen las derivadas parciales en el origen son
triviales, obteniendo
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 0.
Para comprobar si f es diferenciable en el origen debeŕıamos preocupar-
nos por decidir si el ĺımite
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y)− f(0, 0)−∇f(0, 0) · (x, y)√
x2 + y2
existe y es nulo. Si no existe o no es nulo, la función no será diferenciable
en el origen. En concreto
ĺım
(x,y)→(0,0)
x3
(x2 + y2)3/2
=
(
ĺım
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
)3
.
El ĺımite dentro del cubo no existe, lo cual es evidente si lo escribimos
en coordenadas polares. En consecuencia la función no es diferenciable
en el origen.
377 Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad
de la función
f(x, y) =

x3 − (y − 1)3
x2 + (y − 1)2 si (x, y) 6= (0, 1),
0 si (x, y) = (0, 1);
en el punto (0, 1).
378 Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de la función
f(x, y) =

x2y3
(x2 + y2)2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) 6= (0, 0).
379 Dada la función
f(x, y) =

x2 sen y + y2 senx
x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0);
56 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial56 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial56 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial
(a) Estudiar la existencia de derivadas direccionales de f en el origen.
(b) Calcular el vector gradiente de f en el (0, 0).
(c) Usando los apartados anteriores, decidir si al función f es o no
diferenciable.
380 Probar que la función f(x, y) =
x2 + y2
x+ y
si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0 no
posee derivadas direccionales en el punto (0, 0) para todo vector n ∈ R2.
¿Es f diferenciable en el origen? ¿Es f continua en (0, 0)?
381 Consideremos la función
f(x, y) =

α(|x|+ |y|)√
x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0),
β si (x, y) = (0, 0),
donde α y β son números reales cualesquiera. ¿Es posible encontrar una
relación entre α y β para que existan las derivadas parciales de f en (0, 0)?
En caso afirmativo, ¿Cuánto valen fx(0, 0) y fy(0, 0)? ¿Es f diferenciable
en (0, 0)?
Solución 381:
Si escribimos los ĺımites que proporcionan las derivadas parciales, en-
contramos que
ĺım
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= ĺım
h→0
α− β
h
,
ĺım
h→0
f(0, h)− f(0, 0)
h
= ĺım
h→0
α− β
h
.
Para que estos ĺımites existan no queda más remedio que tomar β = α,
en cuyo caso ambas derivadas parciales son nulas. Si además α = β = 0,
la función es idénticamente nula y por tanto trivialmente diferenciable.
Sin embargo, si α = β 6= 0, la función no puede ser diferenciable en el
origen pues el ĺımite doble
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y)
no existe. Basta tomar y = tx con t constante para observar que el ĺımite
anterior vale
α (1 + |t|)√
1 + t2
,
que claramente depende del parámetro t. De este modo la función no es
continua en el origen, y por tanto tampoco diferenciable.
2.1 Derivadas parciales 57
382 Sea
f(x, y) =

2xy2
x2 + y4
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
Mostrar que fx y fy existen en todo punto, pero f no es continua en (0, 0).
¿Es f diferenciable en este punto?
� Estudiar la diferenciabilidad en todo R2 de las siguientes funciones:
383 f(x, y) =

xy√
x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
384 f(x, y) =

(x2 + y2) sen
1
x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
385 f(x, y) =

x2
y
si y 6= 0,
0 si y = 0.
386 f(x, y) =

ex
2−y2−1
x− y si y 6= x,
2x si y = x.
Solución: 384:
Usando directamente la definición, es sencillo encontrar que las dos
derivadas parciales en el origen son nulas. Por tanto, para comprobar
si esta función es diferenciable en dicho punto debemos examinar si el
ĺımite doble
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y)√
x2 + y2
existe y es nulo. Esto es aśı pues
ĺım
(x,y)→(0,0)
√
x2 + y2 sen
1
x2 + y2
= 0.
Nótese que el seno siempre está acotado por 1 en valor absoluto, y el
factor
√
x2 + y2 tiende a cero. Por tanto la función es diferenciable en