Problemas de calculo vectorial-28

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82 Capı́tulo 3 Optimización82 Capı́tulo 3 Optimización82 Capı́tulo 3 Optimización
De estas dos posibilidades el signo negativo para z corresponde al
punto de máximo con valor(
5 +
√
13
6
)2√
2 +
√
13
9
,
y el signo positivo corresponde al punto de mı́nimo con el mismo
valor anterior cambiado de signo.
481 Diseñar una lata ciĺındrica con una tapa para contener un litro de agua,
usando la ḿınima cantidad de metal.
482 Hallar el volumen máximo de un paraleleṕıpedo rectangular contenido en el
primer octante x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 con un vértice en el origen y el vértice
opuesto en el plano x+ y + z = 1.
483 Hallar la distancia ḿınima entre el punto (0, 1) y la parábola x2 = 4y.
484 Encontrar la distancia ḿınima entre la parábola y = x2 y la recta y = x−1.
485 Hallar los extremos de f(x, y, z) = x + y + z sujetos a las restricciones
x2 − y2 = 1, 2x+ z = 1.
Solución 485:
En este caso tenemos dos restricciones que respetar y por tanto debemos
introducir dos multiplicadores λ y µ. De este modo el sistema que
debemos resolver es
1 + 2λx+ 2µ = 0, 1− 2λy = 0, 1 + µ = 0,
junto con las dos restricciones. Inmediatamente obtenemos µ = −1 y
por tanto
2λx = 1, 2λy = 1,
de donde concluimos que x = y. Pero nótese que entonces la primera
restricción x2 − y2 = 1 es imposible de cumplir. Esto significa que
el sistema que debemos resolver no admite ninguna solución, y en
particular, esto supone que la región del espacio determinada por las
dos restricciones no puede ser acotada de modo que los valores de la
función f crecen indefinidamente hacia +∞ sobre puntos admisibles y
decrecen hacia −∞. En efecto, si tomamos y ∼ −x pero respetando
x2 − y2 = 1 (lo cual supone x2 → ∞) y z = 1 − 2x, la función f
vale, aproximadamente, 1 − 2x, de modo que si x → ±∞ vemos que
los valores de f crecen o decrecen indefinidamente. Véase la siguiente
Figura 13 representando a la región factible.
486 Encontrar el punto más cercano al origen de entre todos los de la superficie
de ecuación z = 12 (x− 2)2 + y2 − 1. (Indicación: en vez de la distancia al
origen, es más conveniente minimizar la distancia al cuadrado).
3.2 Extremos condicionados 83
−4
−2
0
2
4 −4 −2
0
2
4
−10
0
10
Figura 13: Región factible en el Ejercicio 485
487 Encontrar los puntos de la superficie xyz = 1 más próximos al origen.
488 Encontrar los puntos más lejanos al origen de entre todos los que satisfacen
la condición x4 + y4 + z4 = 1 (Indicación: esta ecuación representa una
superficie acotada).
489 Hallar la ḿınima distancia del origen a la superficie x2 + y2 + z = 3.
490 Encontrar los puntos cŕıticos de la función f(x, y, z) = x+2y+3z sometida
a la restricción xy + xz + yz = 1.
Solución 490:
Las ecuaciones que debemos resolver son
1 + λ(y + z) = 0, 2 + λ(x+ z) = 0, 3 + λ(x+ y) = 0,
junto con la restricción
xy + xz + yz = 1.
Restando la primera de la segunda se llega a
1 + λ(x− y) = 0,
que junto con la tercera conduce a
2 + λx = 0, 1 + λy = 0,
84 Capı́tulo 3 Optimización84 Capı́tulo 3 Optimización84 Capı́tulo 3 Optimización
de donde concluimos que x e y no pueden anularse, y además 2y =
x. Además llevando esta información a las dos primeras ecuaciones
deducimos que z = 0. Finalmente para la restricción obtenemos
2y2 = 1, y = ± 1√
2
, x = ±
√
2, z = 0.
Las posibles soluciones son por tanto(√
2,
1√
2
, 0
)
,
(
−
√
2,− 1√
2
, 0
)
.
Sin embargo ninguna de estas soluciones corresponde a los valores ex-
tremos. Para convencernos de esto basta con tomar z = 0, y = 1x , x 6= 0,
que son puntos que satisfacen la restricción. Sobre estos puntos el valor
de f es x + 2x . Cuando x es positivo pero próximo a cero, esta últi-
ma expresión tiene un valor positivo muy grande, mientras que si x es
próximo a cero pero negativo tiene un valor muy grande pero negativo.
Esto significa que el valor máximo es +∞ (sin ĺımite) y el mı́nimo −∞
y los valores extremos no se alcanzan. Nótese que la superficie no está
acotada.
491 Sabiendo que la ecuación x4 + y4 + z4 = 1 representa una superficie
limitada en R3, encontrar los valores máximo y ḿınimo de la función
f(x, y, z) = x4y + z4 sobre dicha superficie.
492 Dada la función F (x) = x(x2 − 1), considera la función de tres variables
f(t, x, y) = tF (x) + (1 − t)F (y). Encuentra los puntos cŕıticos de f bajo
la restricción tx+ (1− t)y = a donde a es un número dado fijo.
Solución 492:
De forma expĺıcita, la función f es
f(t, x, y) = t(x3 − x) + (1− t)(y3 − y),
de modo que el sistema a resolver se escribe
(x3 − x)− (y3 − y) + λ(x− y) =0,
t(3x2 − 1) + λt =0,
(1− t)(3y2 − 1) + λ(1− t) =0,
tx+ (1− t)y =a.
Si factorizamos en las tres primeras ecuaciones obtenemos
(x− y)(x2 + xy + y2 − 1 + λ) =0,
t(3x2 − 1 + λ) =0,