Problemas de calculo vectorial-34

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100 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple100 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple100 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple
=
1
2
e2x + e−x
∣∣∣∣1
0
=
1
2
e2 +
1
e
− 3
2
.
El resultado final será la suma de los dos resultados parciales
obtenidos:
I =
1
2
e2 +
1
e
+
1
3e3
− 5
6
.
523 La integración interior respecto a y da el siguiente resultado
∫ 2
0
(
y
5√
2 + x
+
y4
4
)∣∣∣∣
3
√
4−x2
2
−3
√
4−x2
2
dx
=
15
√
4− x2√
2 + x
= 15
√
2− x
La segunda integración iterada nos da finalmente,∫ 2
0
15
√
2− x dx = −10(2− x)3/2
∣∣∣2
0
= 20
√
2.
� Calcular las integrales:
526
∫
D
x3y dA, con D la región entre el eje Y y la parábola x = −4y2 +3.
527
∫
D
(1+xy) dA, con D la región definida por 1 ≤ x2 +y2 ≤ 2 e y ≥ 0.
528
∫
D
y dA, con D =
{
(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ 2xπ ≤ y, y ≤ senx
}
.
529
∫
D
2y dA, con D la región y ≥ x2 interior al ćırculo x2 + y2 = 2.
530
∫
D
dA, con D la región entre y = |x| e y = 21+x2 .
Solución:
526 Para obtener los ĺımites de integración comenzamos dibujando la
región D. Atendiendo a la Figura 14, observamos que x vaŕıa entre
x = 0 y x = 3 mientras que y lo hace entre la parte inferior y la
parte superior de la parábola x = 3− 4y2. Aśı,
∫
D
x3y dA =
∫ 3
0
∫ √ 3−x
4
−
√
3−x
4
x3y dy dx
4.1 Integrales dobles 101
0 1 2 3
−2
−1
0
1
2
Figura 14: Región D del Ejercicio 526
=
∫ 3
0
x3y2
2
∣∣∣∣
√
3−x
4
−
√
3−x
4
dx = 0.
529 La región de integración es la intersección del ćırculo centrado en
el origen y radio
√
2 (x2 + y2 ≤ 2) y la parte sobre la parábola
y = x2. Los puntos de corte de ambas curvas y = x2 y x2 + y2 = 2
son (−1, 1), (1, 1) (véase la Figura 15a). En consecuencia la integral
pedida es
I =
∫ 1
−1
∫ √2−x2
x2
2y dy dx.
Nótese que la curva que limita superiormente la región D es preci-
samente y =
√
2− x2. La integración interior es∫ √2−x2
x2
2y dy = y2
∣∣√2−x2
x2
= 2− x2 − x4,
y la segunda integración iterada arroja el valor∫ 1
−1
(2− x2 − x4) dx = 2x− x
3
3
− x
5
5
∣∣∣∣1
−1
=
44
15
.
530 Para hacernos una idea de la región de integración es importante
realizar un boceto de las dos curvas que limitan la región D. Véase
la Figura 15b. Las coordenadas de los dos puntos de corte se
encuentran resolviendo el sistema
y = |x| , y = 2
1 + x2
.
102 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple102 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple102 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple
−2 −1 0 1 2
0
1
2
(a) 529
−2 −1 0 1 2
0
1
2
(b) 530
Figura 15: Regiones de integración de los Ejercicios 529 y 530
Las soluciones se obtienen inmediatamente. De hecho debido a la
simetŕıa, basta considerar la ráız positiva de la ecuación
x =
2
1 + x2
.
Se obtiene sin dificultad x = 1. Los puntos de corte que nos
determinan los ĺımites de integración para la variable x son por
tanto −1 y 1. Aśı la integral solicitada I será
I =
∫ 1
−1
∫ 2
1+x2
|x|
dy dx.
La integral interior vale∫ 2
1+x2
|x|
dy =
2
1 + x2
− |x| ,
y la integral segunda será∫ 2
−1
2
1 + x2
− |x| dx = 2 arctanx|1−1 −
∫ 1
−1
|x| dx.
Desglosando la segunda integral en los intervalos [−1, 0], [0, 1] para
tratar el valor absoluto, encontramos inmediatamente que
I = π − 1.
531 Calcular el área de la región del plano acotada por las curvas y = x2,
x+ y = 2, y = 0, mediante integración doble.