Problemas de calculo vectorial-36

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106 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple106 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple106 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple
539 Evaluar la integral doble de f(x, y) = xy sobre el recinto de R2 limitado
por las parábolas y = x2 − 4x+ 3 e y = −x2 + 3x.
Solución 539:
Para hacernos una idea de cómo describir la región de integración
debemos intentar hacer un boceto de la situación de las dos parábolas.
Encontramos en primer lugar los puntos de corte de ambas que serán
las soluciones de la ecuación
x2 − 4x+ 3 = −x2 + 3x.
Dichas soluciones son x = 12 y x = 3. Estos serán por tanto los ĺımites
de integración para x. En realidad, la región se describe como (véase la
Figura 18)
1
2
≤ x ≤ 3, x2 − 4x+ 3 ≤ y ≤ −x2 + 3x,
y el volumen será∫ 3
1
2
∫ −x2+3x
x2−4x+3
xy dy dx =
∫ 3
1
2
x
2
(
(−x2 + 3x)2 − (x2 − 4x+ 3)2
)
dx
=
(
1
5
x5 − 13
8
x4 + 4x3 − 9
4
x2
)∣∣∣∣3
1
2
=
625
128
.
0 1 2 3
−1
0
1
2
3
Figura 18: Región entre las parábolas y = x2 − 4x+ 3 e y = −x2 + 3x
540 Calcular la siguiente integral
∫
D
xy2 dA, donde
D = {(x, y) ∈ R2 : 2x2 ≤ y2 ≤ x2 + 1, y ≥ 0}.
4.1 Integrales dobles 107
541 Calcula la integral doble ∫
R
4xy dA,
donde R es el recinto limitado por las curvas y = 1− x2 e y = x− 1.
Solución 541:
Para determinar los ĺımites de integración para la variable x, buscamos
los puntos de intersección de la parábola y = 1−x2 y la recta y = x− 1
resolviendo para ellos la ecuación
1− x2 = x− 1.
Aśı encontramos que la región R de integración es
−2 ≤ x ≤ 1, x− 1 ≤ y ≤ 1− x2,
y la integral doble pedida I será
I =
∫ 1
−2
∫ 1−x2
x−1
4xy dy dx =
∫ 1
−2
2x
(
(1− x2)2 − (x− 1)2
)
dx
=
∫ 1
−2
(2x5 − 6x3 + 4x2) dx = 27
2
.
542 Cambia el orden de integración en∫ π
2
0
∫ y
0
f(x, y) dx dy.
� En las integrales siguientes cambiar el orden de integración:
543
∫ π
2
0
∫ cos θ
0
cos θ dr dθ.
544
∫ 1
0
∫ x2
x3
x+ y
senx
dy dx.
545
∫ 1
−1
∫ 1
|x|
x2 − y
x2 + 1
dy dx.
546
∫ 1
0
∫ 1
1−y
(x+ y2) dx dy.
Solución 545:
La región de integración de esta integral es
−1 ≤ x ≤ 1, |x| ≤ y ≤ 1.
Es importante tener presente el boceto que representa esta región en
108 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple108 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple108 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple
−1 0 1
0
0.5
1
Figura 19: Región de integración en el Ejercicio 545
el plano (Figura 19). En dicho boceto observamos que la variable y se
mueve desde 0 a 1, 0 ≤ y ≤ 1, y para cada una de estas y, la variable x
se debe mover desde −y hasta y. Aśı el cambio de orden de integración
nos lleva a escribir la misma integral como∫ 1
0
∫ y
−y
x2 − y
x2 + 1
dx dy.
� Calcular las siguientes integrales mediante un cambio de orden y esbozar la
región de integración:
547
∫ 3
−1
∫ 2x+3
x2
x dy dx.
548
∫ 2
−2
∫ 4−y2
y2−4
y dx dy.
549
∫ π
2
0
∫ sen y
0
dx dy.
550
∫ 0
−1
∫ 1+√1−y2
y+2
2y dx dy.
551
∫ 2
−2
∫ √4−y2
−
√
4−y2
y
√
x4 + 1 dx dy.
552
∫ 1
0
∫ 1
3
√
y
√
x4 + 1 dx dy.
Solución: