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4.1 Integrales dobles 109 549 La región de integración viene descrita por 0 ≤ y ≤ π 2 , 0 ≤ x ≤ sen y, y está representada en la Figura 20. 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 Figura 20: Gráfica del Ejercicio 549 El cambio de integración nos lleva a 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ arc senx ≤ y ≤ π 2 . No obstante, la integración resulta más sencilla si la evaluamos sin realizar el cambio de integración, es decir,∫ π 2 0 ∫ sen y 0 dx dy = ∫ π 2 0 sen y dy = 1. 550 La región se describe por −1 ≤ y ≤ 0, y + 2 ≤ x ≤ 1 + √ 1− y2. La ecuación x = y + 2 es una recta mientras que x = 1 + √ 1− y2 es una parte de la circunferencia (x − 1)2 + y2 = 1. De este modo resulta sencillo esbozar la región de integración (véase la Figura 21). El cambio de orden de integración nos lleva a 1 ≤ x ≤ 2, − √ 2x− x2 ≤ y ≤ x− 2. Aśı la integral será ∫ 2 1 ∫ x−2 − √ 2x−x2 2y dy dx, y su cálculo se realiza sin mayores dificultades∫ 2 1 [ (x− 2)2 − (2x− x2) ] dx = ( 23x 3 − 3x2 + 4x) ∣∣2 1 = − 13 . 110 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple110 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple110 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple 1 1.5 2 −1 −0.5 0 Figura 21: Región de integración en el Ejercicio 550 552 La región que se describe por 0 ≤ y ≤ 1, 3√y ≤ x ≤ 1, (ver Figura 22) también se puede determinar, cambiando el orden de las variables, por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x3, y la integral será∫ 1 0 ∫ x3 0 √ 1 + x4 dx = ∫ 1 0 x3 √ 1 + x4 dx = 1 6 (1 + x4) 3 2 ∣∣∣∣1 0 = 1 6 ( 2 √ 2− 1 ) . 0 0.5 1 0 0.5 1 Figura 22: Ejercicio 552: región dada por 0 ≤ y ≤ 1, y1/3 ≤ x ≤ 1 4.2 Integrales triples 111 553 Calcular la integral doble ∫ 1 0 ∫ 1 √ x ey 3 dy dx. 554 Calcular la integral doble I = ∫ 1 1 2 ∫ 1 x 1 y3xex 2y2 dy dx. Solución 554: Observamos que resulta más sencillo integrar respecto a x que respecto a y, lo cual aconseja cambiar el orden de integración. De este modo tendremos que la región 1 2 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 1 x , se describe también como 1 ≤ y ≤ 2, 1 2 ≤ x ≤ 1 y , y la integral resulta I = ∫ 2 1 ∫ 1 y 1 2 y3xex 2y2 dx dy = ∫ 2 1 y 2 ex 2y2 ∣∣∣ 1y 1 2 dy = ∫ 2 1 y 2 ( e− e y 2 4 ) dy = ( e 4 y2 − e y 2 4 )∣∣∣∣2 1 = e 1 4 − e 4 . 4 2 INTEGRALES TRIPLES � Calcular las siguientes integrales triples: 555 ∫ W x2 dV , W = [0, 1]3. 556 ∫ W xyz dV , W = [0, 1]× [1, 2]× [2, 3]. 557 ∫ W (x+ y + z) dV , W = [0, 2]× [0, 3]× [0, 1]. Funciones de varias variables: Integración Múltiple Integrales triples
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