Problemas de calculo vectorial-38

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112 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple112 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple112 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple
558
∫
W
sen(x+ y + z) dV , W = [0, π]3.
Solución 558:
La integral triple que nos solicitan es
I =
∫ π
0
∫ π
0
∫ π
0
sen(x+ y + z) dz dy dx.
En cada integración iterada, consideramos las variables respecto de
las que no estamos integrando como si fueran constantes de manera
análoga a como haćıamos con las integrales dobles, para obtener en
pasos sucesivos,
I =
∫ π
0
∫ π
0
(− cos(x+ y + z))|π0 dy dx
=
∫ π
0
∫ π
0
(cos(x+ y)− cos(π + x+ y)) dy dx
=
∫ π
0
(sen(x+ y)− sen(π + x+ y))|π0 dx
=
∫ π
0
(sen(π + x)− senx− sen(2π + x) + sen(π + x)) dx.
Teniendo en cuenta que, debido a la periodicidad del seno, senx y
sen(2π + x) son iguales, tendremos finalmente
I = 2
∫ π
0
(sen(π + x)− senx) dx
= 2 (cosx− cos(π + x))|π0 = −8.
� Evaluar las siguientes integrales triples y esbozar la región de integración:
559
∫ 1
0
∫ x
0
∫ y
0
y dz dy dx.
560
∫ 2
0
∫ y
0
∫ x+y
0
(x+ y + z) dz dx dy.
561
∫ 1
0
∫ 1+x
1−x
∫ xy
0
4z dz dy dx.
562
∫ 1
0
∫ 2x
0
∫ x2+y2
0
dz dy dx.
563
∫ 1
0
∫ x
0
∫ 2y
y
√
x+ y + z dz dy dx.
4.2 Integrales triples 113
564
∫ 1
−1
∫ 1
x2
∫ 1
x2
z dz dy dx.
Solución:
560 En este tipo de integrales triples suele ser más delicado el esbozar
o imaginarse la región de integración en el espacio que la propia
integración en śı. La tarea de esbozar la región de integración es
prácticamente obligatoria cuando se presenta un cambio en el orden
de integración. Por esta razón es tan importante ejercitarse en la
tarea de representar las regiones de integración de las integrales
triples. En el caso que nos ocupa
I =
∫ 2
0
∫ y
0
∫ x+y
0
(x+ y + z) dz dx dy,
y la región de integración queda determinada por las desigualdades
0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ z ≤ x+ y.
Para obtener la gráfica partimos de la descripción que nos reflejan
los ĺımites que acotan las variables. La última de ellas, en este caso
0 ≤ z ≤ x+y, nos dice que la región está limitada por las superficies
z = 0 y z = x+y a lo largo del eje Z. Mientras que la proyección de
dicha región a lo largo de este eje está determinada por las otras dos
variables. En la Figura 23 se puede ver dicha región de integración.
0
1
2
0
1
2
0
2
4
Figura 23: Región de integración en el Ejercicio 560
Como hemos observado el cálculo de la integral es prácticamen-
te automático cuando las primitivas involucradas en las distintas
114 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple114 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple114 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple
integrales iteradas son inmediatas. Aśı
I =
∫ 2
0
∫ y
0
(
(x+ y)z +
z2
2
)∣∣∣∣x+y
0
dx dy
=
∫ 2
0
∫ y
0
3
2
(x+ y)2 dx dy =
∫ 2
0
1
2
(x+ y)3
∣∣∣∣y
0
dy
=
∫ 2
0
7
2
y3 dy =
7
8
y4
∣∣∣∣2
0
= 14.
564 Como en el ejemplo precedente, la región de integración viene
determinada por las desigualdades
−1 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1, x2 ≤ z ≤ 1.
Dicha región está esbozada en la Figura 24.
−1
0
1
0
0.5
1
0
0.5
1
Figura 24: Representación gráfica del Ejercicio 564
El cálculo de la integral es inmediato:
I =
∫ 1
−1
∫ 1
x2
∫ 1
x2
z dz dy dx =
∫ 1
−1
∫ 1
x2
1− x4
2
dy dx
=
∫ 1
−1
(1− x4)(1− x2)
2
dx =
1
2
(
x− x
3
3
− x
5
5
+
x7
7
)∣∣∣∣1
−1
= 1− 1
3
− 1
5
+
1
7
=
64
105
.