Problemas de calculo vectorial-42

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para realizar la integración anterior, llegamos a que el área pedida es
2π
3 −
√
3
2 .
� Evaluar las siguientes integrales usando el cambio a polares donde la región
D está determinada en cada caso por las ecuaciones y condiciones dadas:
593
∫
D
x√
x2 + y2
dA, D comprendido por y = x, y = −x y x = 1.
594
∫
D
xy dA, D limitado por x2 + y2 = 2, y ≤ x e y > 0.
595
∫
D
(x + y) dA, D acotado por x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x,
y = −x con y ≥ 0.
596
∫
D
y
x2 + y2
dA, D limitado por x = 2, y = 0, y =
√
3x.
597
∫
D
1√
x2 + y2
dA, D = {x2 + y2 ≤ 2x}.
Solución:
593 Probablemente el paso más importante en el cambio de una integral
a polares sea la descripción del recinto de integración en tal sistema
de coordenadas. Según la Figura 32 que concreta cuál es la región de
integración en este ejemplo, vemos inmediatamente que el ángulo
θ vaŕıa entre los ĺımites −π4 y π4 . Para cada ángulo θ en ese rango,
el radio debe llegar hasta cortar la recta x = 1, es decir,
r cos θ = 1⇒ r = 1
cos θ
.
En consecuencia, la descripción del recinto de integración en coor-
denadas polares será
−π
4
≤ θ ≤ π
4
, 0 ≤ r ≤ 1
cos θ
.
La integral solicitada será, teniendo en cuenta el jacobiano r,∫ π
4
−π
4
∫ 1
cos θ
0
r cos θ dr dθ =
∫ π
4
−π
4
r2 cos θ
2
∣∣∣∣ 1cos θ
0
dθ
=
1
2
∫ π
4
−π
4
1
cos θ
dθ.
4.3 Cambios de variable 125
0 0.5 1
−1
0
1
Figura 32: Región de integración del Ejercicio 593
Un cambio de variable trigonométrico del tipo t = sen θ da lugar a
la integral
1
2
∫ √2
2
−
√
2
2
1
1− t2 dt =
1
4
log
∣∣∣∣1 + t1− t
∣∣∣∣∣∣∣∣
√
2
2
−
√
2
2
=
1
2
log
2 +
√
2
2−
√
2
595 En este caso la región de integración es la corona descrita por
π
4
≤ θ ≤ 3π
4
, 1 ≤ r ≤ 2.
(véase la Figura 33). Por la tanto la integral que nos ocupa se
escribe en coordenadas polares como∫ 3π
4
π
4
∫ 2
1
r2 (cos θ + sen θ) dr dθ.
Las dos integraciones que se deben realizar son directas y no ofrecen
mayores dificultades. El resultado final es 7
√
2
3 .
597 La región de integración en este caso, escrita en coordenadas pola-
res, es
r ≤ 2 cos θ
que representa el interior del ćırculo centrado en (1, 0) y radio 1.
Esta conclusión se puede obtener de manera clara si se completan
cuadrados en la forma del recinto en coordenadas rectangulares
(x− 1)2 + y2 ≤ 1.
En este caso los ĺımites de integración para θ deben ser −π2 y π2 ,
pues es el intervalo de ángulos en que está definido dicho ćırculo.
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−1 0 1
0
1
2
Figura 33: Representación gráfica del Ejercicio 595
Aśı vemos que la integral que nos interesa es∫ π
2
−π
2
∫ 2 cos θ
0
dr dθ.
Los cálculos concretos no suponen ninguna dificultad especial. El
valor de la integral es 4.
598 Sea D = {(x, y) ∈ R2 : x2 − y2 ≤ 12 , x ≥
√
3y ≥ 0} y sea f : R2 → R
una función integrable. Escribir la integral doble
∫ ∫
D
f dA en términos de
integrales iteradas de la siguiente forma:
(a)
∫ ∫
f(x, y) dx dy.
(b)
∫ ∫
f(x, y) dy dx.
(c)
∫ ∫
f(r cos θ, r sen θ)r dr dθ.
599 Considérese la integral
I =
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
∫ 1
√
x2+y2
ez
2√
x2 + y2
dz dy dx.
(a) Determinar los ĺımites de integración para poder escribir I de la forma
I =
∫ ...
...
∫ ...
...
∫ ...
...
ez
2√
x2 + y2
dy dx dz.
(b) Calcular el valor de dicha integral mediante un cambio de variables
adecuado.