Problemas de calculo vectorial-49

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4.3 Cambios de variable 145
645
∫ π
0
∫ 2 sen θ
0
r
√
9− r2 dr dθ.
646
∫ π
3
π
4
∫ 1
0
r3 dr dθ.
647
∫ 3π
4
π
2
∫ − cos θ
0
r tan θ dr dθ.
Solución 647:
La región de integración corresponde a
π
2
≤ θ ≤ 3π
4
, 0 ≤ r ≤ − cos θ.
La ecuación r = − cos θ corresponde, en coordenadas cartesianas a
x2 + y2 + x = 0,
que, después de completar cuadrados, vemos que se trata del ćırculo de
radio 12 centrado en (− 12 , 0). Los ĺımites para el ángulo nos informan de
que sólo una parte de tal ćırculo es la región de integración. En concreto
se trata de la parte y ≥ −x sobre la diagonal secundaria. Aśı, la región
de integración se describe en cartesianas como
x2 + y2 + x ≤ 0, y + x ≥ 0.
El integrando corresponde a tan θ (después de “descontar” el jacobiano
r). Dicha función en cartesianas corresponde a yx . Finalmente las solu-
ciones del sistema
x2 + y2 + x = 0, y + x = 0,
nos dan los ĺımites de integración para la variable x. En definitiva
encontramos que se trata de la integral∫ 0
− 12
∫ √−x−x2
−x
y
x
dy dx.
� Escribir en cartesianas (sin evaluar) las siguientes integrales expresadas en
coordenadas ciĺındricas:
648
∫ π
2
0
∫ 1
0
∫ r2
0
zr2 cos θ dz dr dθ.
649
∫ π
2
−π2
∫ √cos θ
0
∫ r
0
r2 dz dr dθ.
146 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple146 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple146 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple
650
∫ 2π
0
∫ |2 sen θ|
0
∫ 1
0
r2(cos θ + sen θ) dz dr dθ.
Solución 649:
El integrando corresponde a r =
√
x2 + y2 después de descontar el
jacobiano del cambio. Los ĺımites de integración para z son claramente
0 ≤ z ≤ r =
√
x2 + y2. El punto más delicado consiste en hacerse
una idea de la curva r =
√
cos θ. Lo que está claro es que se trata de
una curva cerrada en el semiplano derecho x ≥ 0 contenida en la banda
0 ≤ x ≤ 1. Esto nos lleva a concluir que los ĺımites para x son 0 ≤ x ≤ 1.
Para determinar los ĺımites para la variable y, debemos transformar la
ecuación r =
√
cos θ a cartesianas. Elevando al cuadrado y multiplicando
por r, no es dif́ıcil llegar a (x2 + y2)3 = x2. Si despejamos y, tendremos
−
√
x2/3 − x2 ≤ y ≤
√
x2/3 − x2.
La integral completa en cartesianas será por tanto∫ 1
0
∫ √x2/3−x2
−
√
x2/3−x2
∫ √x2+y2
0
√
x2 + y2 dz dy dx.
� Escribir en cartesianas (sin evaluar) las siguientes integrales expresadas en
coordenadas esféricas.
651
∫ π
0
∫ π
2
0
∫ 2 cosφ
0
ρ2 senφdρ dφ dθ.
652
∫ π
2
−π2
∫ π
4
0
∫ 2 cosφ
0
ρ4 sen3 φdρ dφ dθ.
653
∫ π
3
π
4
∫ π
2
0
∫ 4
0
ρ3 sen(2φ) dρ dφ dθ.
Solución 652:
Después de descontar el jacobiano del cambio a esféricas ρ2 senφ, el
integrando queda ρ2 sen2 φ que en coordenadas cartesianas se puede
escribir como x2 + y2.
Para determinar la región de integración, debemos aclarar qué figura
representa ρ = 2 cosφ. Si multiplicamos por ρ, deducimos que se trata
de x2 + y2 + z2 = 2z y completando cuadrados llegamos a
x2 + y2 + (z − 1)2 = 1.
Es por tanto la esfera de radio unitario centrada en (0, 0, 1). Los ĺımites
0 ≤ φ ≤ π4 indican que sólo consideramos la parte de dicha esfera
4.3 Cambios de variable 147
sobre el cono φ = π4 , mientras que los ĺımites −π2 ≤ θ ≤ π2 indican
que únicamente la parte de la región con x ≥ 0 nos interesa. El cono
φ = π4 corresponde a la ecuación z =
√
x2 + y2. Aśı pues la intersección
de dicho cono con la esfera de antes corresponde al ćırculo unitario
x2 + y2 = 1. Finalmente la integral en coordenadas cartesianas será∫ 1
−1
∫ √1−y2
0
∫ 1+√1−x2−y2
√
x2+y2
(
x2 + y2
)
dz dx dy.
Nótese que los ĺımites para x e y provienen de la descripción de la
región plana x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0. Los ĺımites para z surgen del cono
z =
√
x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 2z, despejando z en ambos
casos.