Problemas de calculo vectorial-50

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GEOMETŔIA DIFERENCIAL
Caṕıtulo
5
Los ejercicios propuestos en este tema estarán dedicados al estudio de cur-
vas y superficies, que serán esenciales en el tema siguiente. Al igual que en el
tema anterior, la dificultad fundamental reside en la correcta comprensión y
visualización de estos objetos, con especial atención al cálculo de parametri-
zaciones.
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CURVAS EN EL PLANO Y EL ESPACIO
� Esbozar las curvas siguientes indicando el sentido en el que se recorren:
654 σ(t) = (0, cos(πt)), t ∈ [−1, 13 ].
655 σ(t) = (2t− 1, t− 1), t ∈ R.
656 σ(t) = (t2,−t), t ≥ 0.
657 σ(t) = (2 cos t,− sen t), t ∈ [0, π2 ].
658 σ(t) = (et, 4e2t), t ∈ R.
659 σ(t) = (sec t, tan t), t ∈ [−π2 , π2 ].
Solución:
657 Atendiendo a las coordenadas polares dilatadas, podemos fácilmen-
te deducir que la curva (2 cos t,− sen t) corresponde a un cuarto de
la elipse de centro el origen y semiejes 2 y 1. El origen está en
el punto (2, 0) y el extremo final en el punto (0,−1), recorrida en
sentido negativo (ver Figura 47a).
658 Está claro que la curva satisface y = 4x2, por lo que corresponde
a un trozo de dicha parábola. Teniendo en cuenta que si t→ −∞,
entonces et → 0, se trata de la rama derecha de la parábola y = x2
sin incluir al origen (ver Figura 47b) recorrida hacia arriba.
150 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial150 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial150 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial
0 1 2
−1
−0.5
0
0.5
(a) Ejercicio 657
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.5
1
1.5
2
(b) Ejercicio 658
Figura 47: Curvas parametrizadas
� Encontrar una parametrización para las curvas planas descritas a continua-
ción:
660 El segmento que une los puntos (−3, 2) y (4, 0).
661 El ćırculo con centro el origen y radio 6.
662 El cuarto de ćırculo con centro en (0, 0) cuyos puntos extremos son
(
√
2
2 ,
√
2
2 ) y (
√
2
2 ,−
√
2
2 ).
663 El grafo de y = tanx para 0 ≤ x ≤ π4 .
664 El cuadrado de vértices (3, 0), (3, 3), (0, 3) y (0, 0).
665 La rama izquierda de la hipérbola 2x2 − 3y2 = 1.
Solución:
662 Se trata de un cuarto del ćırculo unitario centrado en el origen.
La única precaución se refiere a delimitar bien el rango en el
que se debe mover el parámetro que representa el ángulo. Una
parametrización puede ser
σ(θ) = (cos θ,− sen θ) , θ ∈
(
−π
4
,
π
4
)
.
664 Como el cuadrado que nos solicitan consta de cuatro segmentos
rectos, una posibilidad consiste en parametrizar esos cuatro lados
de manera independiente. Aśı tendŕıamos
σ(t) = (3t, 0), t ∈ [0, 1] para el primer segmento,
σ(t) = (3, 3t− 3), t ∈ [1, 2] para el segundo segmento,
	Geometría diferencial
	Curvas en el plano y el espacio