Problemas de calculo vectorial-52

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154 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial154 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial154 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial
viene dada por la integral definida
L =
∫ t1
t0
|σ′(t)| dt.
En este caso concreto, tendremos que
σ′(t) = (2, 2t, 1t ), t ∈ [1, 2].
La longitud solicitada será por tanto
L =
∫ 2
1
√
4 + 4t2 +
1
t2
dt.
Después de unos cuantos cálculos, y completando cuadrados llega-
mos a
L =
∫ 2
1
2t2 + 1
t
dt =
[
t2 + log t
]2
1
= 3 + log 2.
685 En este ejemplo el vector tangente es
σ′(t) = (3 sen t+ 3t cos t, 3 cos t− 3t sen t, 4t) ,
de modo que su longitud después de desarrollar los cuadrados y
tener en cuenta alguna cancelación, resulta ser
|σ′(t)|2 = 9 + 25t2.
Por tanto, la longitud de arco nos lleva a preocuparnos por calcular
la integral definida
L =
∫ 4
5
0
√
9 + 25t2 dt.
Esta integral se puede calcular mediante el cambio t = senhx, y
resultado final es 2 + 910 arccosh (
4
3 )
� Encontrar la longitud de arco de las siguientes curvas expresadas en forma
polar:
686 r = cos θ, θ ∈ [−π2 , π2 ].
687 r = θ, θ ∈ [0, π].
688 r = θ2, θ ∈ [0, 1].
689 r = sec θ, θ ∈ [0, π4 ].
Solución 688:
5.3 Superficies 155
La fórmula de la longitud de arco de una curva dada en polares
r = r(θ), θ0 ≤ θ ≤ θ1,
es
L =
∫ θ1
θ0
√
r′(θ)2 + r(θ)2 dθ.
Esta fórmula proviene de que para una tal curva, una posible parame-
trización es
σ(θ) = (r(θ) cos θ, r(θ) sen θ), θ0 ≤ θ ≤ θ1.
Si aplicamos la fórmula usual de la longitud de arco para una curva con
esta parametrización, obtenemos la integral anterior.
En este ejemplo, la longitud se calcula a través de la integral
L =
∫ 2π
0
√
θ4 + 4θ2 dθ.
Factorizando y sacando del radical θ2, llegamos a la integral∫ 2π
0
θ
√
4 + θ2 dθ.
Esta integral es inmediata obteniéndose
L =
1
3
(
4 + θ2
) 3
2
∣∣∣∣2π
0
=
8
3
[(
1 + π2
) 3
2 − 1
]
.
5 3
SUPERFICIES
690 Encontrar una expresión para el vector normal a la superficie de parametri-
zación:
x = (2− cos v) cosu, y = (2− cos v) senu, z = sen v,
−π ≤ u ≤ π, −π ≤ v ≤ π.
¿Es suave esta superficie? Intentar esbozarla.
� Encontrar la ecuación del plano tangente a las superficies siguientes en los
puntos dados:
691 x = u2, y = v2, z = u2 + v2, para u = v = 1.
156 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial156 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial156 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial
692 x = u2, y = u sen(ev), z = 13u cos(e
v), en (13,−2, 1).
693 z = 3x2 + 8xy, para x = 1, y = 0.
694 x3 + 3xy + z2 = 2, en (1, 13 , 0).
Solución:
692 Cuando disponemos de una parametrización de la superficie
(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D,
la ecuación del plano tangente en un punto concreto
(x0, y0, z0) = (x(u0, v0), y(u0, v0), z(u0, v0))
viene dada por la expresión
det

∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
x− x0 y − y0 z − z0
 = 0,
donde los vectores de derivadas parciales se evalúan para los valores
(u0, v0). En nuestro caso los valores de los parámetros que nos dan
el punto (13,−2, 1) son
u0 =
√
13, v0 = log
(
arc sen
−2√
13
)
,
y los vectores de derivadas parciales en dichos valores de los
parámetros son(
∂x
∂u
,
∂y
∂u
,
∂z
∂u
)
=
(
2√
13
,− 2√
13
,
1√
13
)
,(
∂x
∂v
,
∂y
∂v
,
∂z
∂v
)
=
(
0, 3 arc sen
(
− 2√
13
)
,
2
3
arc sen
(
− 2√
13
))
.
La ecuación del plano tangente será por tanto
det

2
√
13 − 2√
13
1√
13
0 3 arc sen(− 2√
13
) 23 arc sen(− 2√13 )
x− 13 y + 2 z − 1
 = 0
que da lugar a −x− 4y + 18z = 13.
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