Problemas de calculo vectorial-5

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0.1 Repaso de geometrı́a del plano y el espacio 13
46 x+ y + z = 1.
47 x+ y = 1.
48 −x+ 3y + 3z = −3.
49 2y + z = 0.
Solución 48:
Los puntos de corte de un cierto plano con los tres ejes coordenados se
obtienen anulando dos de las coordenadas, por turno, y despejando la
tercera de la propia ecuación del plano. Aśı, si el plano tiene ecuación
−x+ 3y + 3z = −3 los puntos de corte serán:
Con el eje X: y = z = 0, −x = −3, y el punto resulta ser el (3, 0, 0).
Con el eje Y : x = z = 0, 3y = −3, y el punto de intersección es
(0,−1, 0).
Con el eje Z: x = y = 0, 3z = −3, y el punto es (0, 0,−1).
� Determinar el paralelismo o perpendicularidad de los siguientes pares de
planos.
50 x− 3y + 2z = 4, −2x+ 6y − 4z = 0.
51 4x+ 3y − z = 6, x+ y + 7z = 4.
52 Encontrar la distancia entre el punto (1, 1, 2) y el plano de ecuación 3x +
y − 5z = 2.
53 Dos caras de un cubo se encuentran en los planos 3x − y + 2z = 5,
3x− y + 2z = 7. Calcular el volumen del cubo.
Solución 53:
Si dos caras de un cubo se encuentran en dos planos paralelos, el lado
del cubo tendrá que ser necesariamente la distancia entre ambos planos.
Esta distancia es además la distancia de un punto de uno de los planos
al otro plano. Tal fórmula de la distancia es
d(P, π) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
.
donde π ≡ ax+by+cz+d = 0 es la ecuación del plano y P = (x0, y0, z0)
el punto respecto del que calculamos la distancia. En nuestro caso
concreto
P = (1, 0, 1), π ≡ 3x− y + 2z − 7 = 0,
y por lo tanto la distancia, aplicando la fórmula anterior, es 2√
14
. Aśı, el
volumen del cubo pedido será el cubo de este valor, es decir, 4
7
√
14
.
14 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables14 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables14 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables
54 Encontrar la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos del espacio
que equidistan de los puntos A = (−1, 5, 3) y B = (6, 2,−2).
Solución 54:
Es fácil caer en la cuenta de que el lugar geométrico solicitado es
exactamente el plano perpendicular al vector
−−→
AB que pasa por el punto
medio 12 (A + B) (el plano mediatriz). Una vez entendida la afirmación
anterior es muy sencillo comprobar que la ecuación de tal plano es
14x− 6y − 10z = 9.
� Dibujar los siguientes conjuntos del plano y del espacio:
55 {(x, y) ∈ R2 : x > 0, log x ≤ y}.
56 {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y < ex}.
57 {(x, y) ∈ R2 : x2 − 2x+ y2 ≤ 3}.
58 {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1}.
59 {(x, y) ∈ R2 : (4x− x2 − y2)(x2 + y2 − 2x) ≤ 0}.
60 {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| ≤ 1}.
61 {(x, y) ∈ R2 : |x− 1|+ |y − 1| < 2}.
62 {(x, y, z) ∈ R3 : y2 + z2 ≤ 4}.
63 {(x, y) ∈ R2 : xy = 1}.
64 {(x, y, z) ∈ R3 : xy = 1}.
65 {(x, y, z) ∈ R3 : x = sen y}.
Solución:
57 En la desigualdad x2− 2x+ y2 ≤ 3, podemos completar cuadrados
del siguiente modo:
x2 − 2x+ y2 ≤ 3⇔ x2 − 2x+ 1− 1 + y2 ≤ 3⇔ (x− 1)2 + y2 ≤ 4.
Si prestamos atención a la expresión anterior con igualdad, debe-
mos distinguir la ecuación de una circunferencia1 de centro el punto
(1, 0) y radio 2. Para estudiar la desigualdad observamos que ésta
corresponde a los puntos interiores de la misma, luego el conjunto
pedido resulta ser el ćırculo (incluida la frontera) de centro (1, 0) y
radio 2.
1Recuérdese que la ecuación de una circunferencia de centro (a, b) y radio r se escribe
como (x− a)2 + (y − b)2 = r2.
0.1 Repaso de geometrı́a del plano y el espacio 15
59 No es dif́ıcil observar que la condición
(4x− x2 − y2)(x2 + y2 − 2x) ≤ 0
se desglosa en dos posibilidades. La primera corresponde a
4x− x2 − y2 ≥ 0, x2 + y2 − 2x ≤ 0,
y la segunda a
4x− x2 − y2 ≤ 0, x2 + y2 − 2x ≥ 0.
Después de usar la técnica de completar cuadrados, estas dos
posibilidades se pueden reinterpretar como
(x− 2)2 + y2 ≤ 4, (x− 1)2 + y2 ≤ 1,
y
(x− 2)2 + y2 ≥ 4, (x− 1)2 + y2 ≥ 1,
respectivamente. El primer caso corresponde a la intersección de
los dos ćırculos centrados respectivamente en (2, 0) y (1, 0), y de
radios 2 y 1. Mientras que la segunda posibilidad es precisamente
la intersección de los exteriores de esos mismos ćırculos (véase la
Figura 1). La unión de ambas regiones es el conjunto del plano
pedido.
−4 −2 0 2 4
−4
−2
0
2
4
Figura 1: Ejercicio 59: región (4x− x2 − y2)(x2 + y2 − 2x) ≤ 0
61 Para entender el conjunto de puntos del plano que satisfacen la
condición
|x− 1|+ |y − 1| < 2,