Calculo diferencial Universidad-106

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CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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b. (4x-5)3= 2y4
c. x2 seny+ycosx=5
d. e2y cos3x=1+sen(xy)
e. x3 +y3=3xy 
AC7 Determinar 
𝑑𝑑2𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑥𝑥2
 por medio de diferenciación implícita
a. x+y=cosy
b. 3y3=4x2+2 
c. x3+y3=9
AC8 Resolver usando derivación logarítmica:
a. 𝑦𝑦 = (𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑥𝑥)ln 𝑥𝑥 
b. 
c. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥 
d. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥 
e. 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4)𝑥𝑥 
f. 
𝑦𝑦 =
𝑥𝑥√𝑥𝑥 + 4
√4𝑥𝑥2 + 33
 
AC9 Dada las siguientes funciones, encontrar: f ’ (x), f ’’ (x)
a. 𝑥𝑥 = 5𝑡𝑡2 + 2𝑡𝑡 + 1 
b. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 
𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥
𝑥𝑥 + 1
 
c. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 5 
d. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥 +
𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥
2
 
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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EjErcicios dE aplicación 
EA1. Un fabricante produce un rollo con ancho fijo de un tejido 
para fabricar asientos de vehículos. El costo de producir x metros de este 
tejido es de C=f(x) dólares.
a. ¿Cuál es el significado de la derivada f ’ (x)? ¿Cuáles son 
sus unidades?
b. En términos prácticos, ¿qué significa decir que f ’ (1000)=9?
c. ¿Cuál piensa que es más grande f ’ (50) o f ’ (500)? ¿Qué hay res-
pecto a f ’ (5000)?
EA2. En la tabla se proporciona el número N de kilómetros de 
recorrido de un vehículo medidos al final de cada año
Año 2011 2012 2013 2014 2015
N 18027 21005 25659 32650 38646
a. Determine la tasa promedio de crecimiento
1. Desde 2012 a 2013
2. Desde 2012 a 2014
3. Desde 2011 a 2012
4. Desde 2014 a 2015
En cada caso incluya las unidades
b. Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2012 consideran-
do dos razones de cambio promedio ¿Cuáles son sus unidades?
c. Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2012 midiendo la 
pendiente de una recta tangente
d. Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2013 y compárela 
con la razón de crecimiento de 2012 ¿Qué concluye?
EA3. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mue-
ve en línea recta está dado por s=t2-8t+18, donde t se mide en segundos.
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a. Encuentre la velocidad promedio en cada intervalo de tiempo:
1. [3;4] 
2. [3,5;4]
3. [4;5] 
4. [4;4,5]
b. Halle la velocidad instantánea cuando t = 4
c. Dibuje la gráfica de s como función de t y trace las rectas secantes 
cuyas pendientes son las velocidades promedio en el inciso a) y 
la recta tangente cuya pendiente es la velocidad instantánea en el 
inciso b).
EA4. Crecimiento y Decaimiento exponencial Una curva pasa 
a través del punto (0,5) y tiene la propiedad de que la pendiente de la 
curva en cualquier punto P es dos veces la coordenada y de P. La curva 
es y=5e2x
a. Verifique la propiedad de la curva graficando la misma 
b. Determine la razón de cambio funcional en el punto de abscisa 
x=-1
EA5. La ley de enfriamiento de Newton dice que la rapidez de 
enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de tempera-
tura entre el objeto y su medio ambiente. Para ello utilice las variables 
T=temperatura del objeto; t=tiempo; T
a
=Temperatura del medio am-
biente (constante); k constante de proporcionalidad.
Si un recipiente con una bebida gasificada a temperatura ambien-
te 25 oC se coloca dentro de un refrigerador donde la temperatura es 6 
°C. Después de media hora la bebida se ha enfriado hasta 16 °C. La fun-
ción de temperatura es T=6+19e-0.0214t
Determine: 
• Graficar la función de temperatura y verificar las condiciones 
dadas