Calculo diferencial Universidad-113

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Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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solución
La función f es continua en [-0,71;0,71] y diferenciable sobre 
(-0,71;0,71). También f(-0,71)=f(0,71)=0 . Por tanto se cumplen la hi-
pótesis del teorema de Rolle. Concluimos que debe haber por lo menos 
un número en (-0,71;0,71)para el cual f ‘ (x)=(-6x)2+1 es cero. Para en-
contrar este número se resuelve f ‘(c) = 0 o -6c2+1= 0 Si resolvemos nos 
da dos respuestas que son las soluciones al ejercicio c
1 
= -0,41 y c
2 
= 0,41.
4.4.2 Teorema del valor medio
A partir del teorema de Rolle demostramos este nuevo teorema 
que establece que cuando un función f es continua sobre [a,b] y diferen-
ciable sobre (a,b), entonces debe haber por lo menos un punto sobre la 
gráfica donde la pendiente de la recta tangente es la misma que la recta 
secante que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)). La palabra medio se 
refiere aquí a un promedio; es decir al valor de la derivada en algún pun-
to es el mismo que la razón de cambio media de la función sobre el in-
tervalo. Para el ejemplo del viaje de Cuenca a Guayaquil como mínimo 
en algún punto del viaje habré pasado por la velocidad promedio que es 
de 70 Km/h durante las aceleraciones y desaceleraciones que se hacen en 
todo el trayecto. Esto trasladado a una forma matemática tenemos que:
Sea f una función continua sobre [a,b] y diferenciable sobre (a,b) 
existe un número c tal que
Ejemplo 2: Comprobación del teorema del valor medio
Dada la función f(x) = 2x3 - 6x definida sobre el intervalo cerrado 
[-2,2] ¿existe un número c en el intervalo abierto (-2,2) que cumple la 
conclusión del teorema del valor medio?
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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solución
Ya que f es una función continua sobre [-2,2] y diferenciable so-
bre (-2,2). Entonces f(-2) = -4, f(2) = 4
𝑓𝑓′(𝑐𝑐) = 6𝑐𝑐2 − 6 
 
6𝑐𝑐2 − 6 =
𝑓𝑓(2) − 𝑓𝑓(−2)
2 − (−2)
 
6𝑐𝑐2 − 6 =
4 + 4
2 + 2
 6𝑐𝑐2 − 6 =
8
4
 
6𝑐𝑐2 = 8 𝑐𝑐 = ±�
4
3
 
Aunque esta expresión tiene dos respuestas la verdadera es c = 1,15
En la gráfica de la función que se muestra a continuación pode-
mos ver la recta secante de color azul que pasa por los puntos M y N 
que son los extremos del intervalo, y se puede ver que de acuerdo al teo-
rema del valor medio se encontró el punto O en donde c = 1,15 que es 
el punto de la curva dentro del intervalo donde la pendiente de la recta 
tangente tiene el mismo valor que la pendiente de la recta secante que 
pasa por los puntos M y N.
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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Figura 9 
Función del ejemplo 2
4.5 Regla de l’hopital
Recordemos que cuando vimos el tema de límites, ciertos límites se 
podían determinar fácilmente y que había otros que eran más complica-
dos ya que al reemplazar el valor en la expresión nos daba una indetermi-
nación y debíamos levantar esa indeterminación de acuerdo al caso.
Por ejemplo si resolvemos el siguiente límite lím𝑥𝑥→1
2𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+2
𝑥𝑥−1
 al re-
emplazar los datos nos da como resultado una indeterminación del 
tipo 0/0, para esto había una técnica para levantar esa indeterminación 
y resolverla.
Ahora veremos otra aplicación de la derivada para calcular cier-
tos límites con formas indeterminadas como la que acabamos de ver.