Calculo diferencial Universidad-115

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Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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Si evaluamos la función cuando x tiende a ∞ tenemos:
lim
𝑥𝑥→∞
𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥
𝑒𝑒𝑥𝑥
=
𝑠𝑠𝑛𝑛∞
𝑒𝑒∞
=
∞
∞
 vemos que hay una indeterminación ∞/∞
Aplicando la regla de L´Hopital tenemos:
lim
𝑥𝑥→∞
𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥
𝑒𝑒𝑥𝑥
= lim
𝑥𝑥→∞
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑒𝑒
𝑥𝑥
= lim
𝑥𝑥→∞
1
𝑥𝑥
𝑒𝑒𝑥𝑥
=
1
∞
∞
=
0
∞
 
Que no es una indeterminación porque su valor es 0
4.5.3 Formas indeterminadas de la forma 00, ∞0, 1∞
Cuando existan indeterminaciones 00, ∞0, 1∞ que son formas in-
determinadas del tipo exponencial. Para resolverlo no debemos aplicar 
las propiedades de los logaritmos para levantar la indeterminación y 
aplicamos la regla de L´Hopital.
Ejemplo 4: Determine lim𝑥𝑥→0+(𝑥𝑥 + 1)
cot⁡(𝑥𝑥) 
solución
Al evaluar en la forma directa tendremos la indeterminación 1∞. 
Aplicando el logaritmo a ambos lados de la expresión tendremos: 
𝑠𝑠𝑛𝑛𝑦𝑦 = cot⁡(𝑥𝑥)𝑠𝑠𝑛𝑛(𝑥𝑥 + 1) = ln⁡(𝑥𝑥+1)
tan⁡(𝑥𝑥)
 . 
Mediante la regla de L´Hopital para formas 0/0, obtenemos:
lim
𝑥𝑥→0+
𝑠𝑠𝑛𝑛𝑦𝑦 = lim
𝑥𝑥→0+
ln⁡(𝑥𝑥 + 1)
𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥
= lim
𝑥𝑥→0+
1
𝑥𝑥 + 1
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐2𝑥𝑥
= 1 
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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Si observamos esta no es todavía la respuesta ya que tenemos del 
lado izquierdo de la expresión el ln (y), entonces aplicamos la función 
exponencial ambos lados de la expresión
elny = e1
y = e
Observemos la siguiente gráfica y compare con el resultado, re-
cordemos que e ≈ 2,7182
Figura 13 
Función del ejemplo 4
4.6 Función creciente y decreciente. Criterio de la primera 
derivada para determinar maximos y minimos
Dada la gráfica siguiente de una función f responder lo siguiente:
• ¿En qué intervalos fes creciente?.¿En qué intervalos f es decreciente?
• ¿En qué valores de x la función f tiene un máximo local o un 
mínimo local?
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Figura 14 
Intervalo de crecimiento y decrecimiento
Si f ‘ (x) > 0 sobre un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo.
Si f ‘(x) < 0 sobre un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo.
4.6.1 Proceso para la determinación de máximos y mínimos locales
Supongamos que c es un número crítico de una función continua f.
Si f ‘ cambia de positiva a negativa alrededor de c, entonces f tiene 
un máximo local en c.
Si f ’ cambia de negativa a positiva alrededor de c, entonces f tiene 
un mínimo local en c.
Si f ‘ no cambia de signo en c(es decir f ‘ es positiva en ambos 
lados de c, o negativa en ambos lados), entonces f no tiene máximo ni 
mínimo locales en c.
Ejemplo 1: Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento 
además los máximos y mínimos de la siguiente función f(x) = x3 -3x2 -9x +1
solución
Para determinar se debe primero derivar la función y encontrar 
los puntos críticos de la misma igualando la derivada a cero y despejan-
do los valores de x.