Calculo diferencial Universidad-116

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CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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f ‘ (x) =3x2 -6x -9 = 3(x+1)(x-3)
Los puntos críticos son -1 y 3 y con ellos vamos a elaborar un 
cuadro con estos intervalos y a evaluar en la función derivada con valo-
res intermedios dentro de cada intervalo y si nos da valores positivos la 
función crece y si da negativo la función decrece.
Tabla 1 
Criterio de la primera derivada
(-∞;-1) (-1;3) (3;∞)
Evaluando f ‘ (x) en -2 Evaluando f ‘ (x) en 0 Evaluando f ‘ (x) en 4
+ - +
crece Decrece crece
Se concluye además que en el punto crítico -1 existe un máximo 
ya que la función crece y luego decrece; y en el punto crítico3 existe un 
mínimo porque la función decrece y luego crece. 
Figura 15 
Función del ejemplo 1
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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EjErcicios propuEstos
EP1. Dada la función f(x) = x2 - 4 determinar:
a. Puntos críticos
b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
c. Máximos y mínimos
EP2. Dada la función f(x) = x3- x +1 determinar:
a. Puntos críticos
b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
c. Máximos y mínimos
EP3. Dada la función f(x) = -4x3+ 3x - 2 determinar:
a. Puntos críticos
b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
c. Máximos y mínimos
4.7 Segunda derivada: concavidad, puntos de inflexión y 
criterio de la segunda derivada para determinar máximos 
y mínimos
La diferencia entre las figuras 16a y 16b es la concavidad, analice-
mos un breve concepto de concavidad:
La concavidad de una curva es la parte que se asemeja a la zona 
interior de una circunferencia.
En la figura 16a la gráfica se dobla hacia abajo y en la figura b la 
gráfica se dobla hacia arriba, por lo tanto las figuras tienen concavidad 
hacia abajo y hacia arriba respectivamente:
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Figura 16a
Figura 16 b
4.7.1 Definición de concavidad
Sea f una función derivable en un número c.
La gráfica de f tiene concavidad hacia arriba en el punto P(c, f(c)) si existe un intervalo 
abierto (a,b) que contiene a c tal que en él la gráfica de f se encuentra arriba de la recta 
tangente en P. 
La gráfica de f tiene concavidad hacia abajo en el punto P(c, f(c)) si existe un intervalo 
abierto (a,b) que contiene a c tal que en él la gráfica de f se encuentra abajo de la recta 
tangente en P.