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Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores 354 En la siguiente gráfica se puede observar la ubicación del punto de inflexión y las concavidades determinadas. Figura 20 Gráfica del ER3 EjErcicios propuEstos EP1. Dada la función f(x) = x3- x + 1determinar: a. Puntos de inflexión b. Intervalos de concavidades EP2. Dada la función f(x) = -4x3+ 3x -2 determinar: a. Puntos de inflexión b. Intervalos de concavidades CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz 355 4.7.4 Criterio de la segunda derivada para determinar maximos y minimos Usar la segunda derivada para determinar si un punto crítico re- presenta un máximo o un mínimo se denomina criterio de la segun- da derivada. 4.7.4.1 Pasos para el criterio de la segunda derivada 1. Determinar los puntos críticos de la primera derivada de la fun- ción dada 2. Encontrar la segunda derivada de la función 3. Evaluar los puntos críticos en la segunda derivada 4. Si f ‘ (c) > 0 el punto crítico es un mínimo 5. Si f ‘ (c) < 0 el punto crítico es un máximo 6. Si f ‘ (c)=0 no es ni un máximo ni un mínimo solo es un punto donde la pendiente es 0 A continuación vamos a ver un ejercicio resuelto donde contem- plemos todo lo aprendido en esta parte. ER4 Dada la función f(x) = 4x4 - 4x² determinar: a. Puntos críticos b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento c. Máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada d. Puntos de inflexión e. Intervalo de concavidades f. Máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada g. Graficar solución a. Puntos críticos Son los puntos en donde la pendiente es cero, se determinan a partir de igualar a 0 la primera derivada. Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores 356 Derivamos la función f ‘ (x)=16x3 - 8x Igualamos a 0 16x3 -8x = 0 Despejamos 8x(2x2 -1) = 0 Puntos críticos 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 = ± √2 2 b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento A parir de los tres puntos críticos formamos intervalos (−∞,−√2 2 ) (−√2 2 , 0) (0, √2 2 ) (√2 2 ,∞) Evaluamos con valores dentro de cada intervalo en la derivada 𝑓𝑓′(−1) = 16(−1)3 − 8(−1) = −8 𝑓𝑓′(−0,5) = 2 𝑓𝑓′(0,5) = −2 𝑓𝑓′(1) = 8 Con estos datos tenemos los intervalos de crecimiento y decreci- miento en la siguiente tabla: Tabla 4 Intervalos de crecimiento y decrecimiento E.R.4 (−∞,− √2 2 ) (− √2 2 , 0) (0, √2 2 ) ( √2 2 ,∞) Decrece Crece Decrece Crece c. Máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada Con los datos de crecimiento y decrecimiento y la tabla generada encontramos:
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