Calculo diferencial Universidad-123

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Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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𝐵𝐵 = 3𝑎𝑎(𝜋𝜋𝑟𝑟2) + 𝑎𝑎(2𝜋𝜋𝑟𝑟ℎ) = 𝑎𝑎𝜋𝜋(3𝑟𝑟2 + 2𝑟𝑟ℎ) 
Y como ℎ = 24
𝑟𝑟2
 tenemos 
𝐵𝐵 = 𝑎𝑎𝜋𝜋 �3𝑟𝑟2 + 2𝑟𝑟 24
𝑟𝑟2
�= 𝑎𝑎𝜋𝜋 �3𝑟𝑟2 + 48
𝑟𝑟
� 
Esta fórmula expresa al costo C como función del radio r ya que a 
es un valor dado por el costo del material y es un número fijo.
Determinamos ahora los puntos críticos derivando la función e 
igualando a 0.
𝐵𝐵′(𝑟𝑟) = 𝑎𝑎𝜋𝜋 �6𝑟𝑟 −
48
𝑟𝑟2
� 
𝑎𝑎𝜋𝜋 �6𝑟𝑟 −
48
𝑟𝑟2
� = 0 
6𝑟𝑟 −
48
𝑟𝑟2
= 0 
6𝑟𝑟 =
48
𝑟𝑟2
 
6𝑟𝑟3 = 48 
𝑟𝑟 = √83 = 2 
Si queremos comprobar si este valor es un máximo o un mínimo 
lo reemplazamos en la segunda derivada
𝐵𝐵′′ (𝑟𝑟) = 𝑎𝑎𝜋𝜋 �6 +
48
𝑟𝑟3
� 
 𝐵𝐵′′ (2) = 𝑎𝑎𝜋𝜋 �6 + 48
23
� = 12𝑎𝑎𝜋𝜋 como es positivo significa que es un mínimo 
El valor de la altura lo sacamos de ℎ = 24𝑟𝑟2 =
24
22
= 6 
Conclusión: Las medidas que minimicen el costo de fabricación 
del envase de forma cilíndrica son el radio de 2 cm y la altura de 6cm.
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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EjErcicios propuEstos
EP1. Se producirá una lata para jugo en forma de cilindro circu-
lar recto con un volumen de 32 plg3.Encontrar las dimensiones de tal 
manera que en su fabricación se ocupe la menor cantidad de material.
EP2. Se desea construir una caja rectangular cerrada con base 
cuadrada y volumen de 32000 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja 
que requiera la menor cantidad de material. 
Actividades complementarias
Resolver
1. Marque las opciones correctas: 
a. Una función f es creciente en un intervalo si para cualquiera 
par de números x
1
, x
2
 del intervalo x
1
 < x
2
 implica f(x
1
) < f(x
2
)
b. Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquie-
ra par de números x
1
, x
2
 del intervalo x
1
 < x
2
 implica f(x
1
) < 
f(x
2
) 
c. Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces f tiene 
tanto un mínimo como un máximo en el intervalo.
2. Considere la curva y = f(x), y suponga que a x se le da un incre-
mento ∆x. El cambio correspondiente en y sobre la curva está 
denotado por _________, mientras que el correspondiente cam-
bio en y sobre la recta tangente está denotado por __________
3. Seleccione la o las opciones correctas
Sea f una función tal que f ’(c) = 0 y cuya segunda derivada existe 
en un intervalo abierto que contiene a c; por lo tanto: 
a. Si f ’’(c ) > 0 entonces f(c) es un máximo relativo
b. Si f ’’(c ) > 0 entonces f(c) es un mínimo relativo
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4. Seleccione la o las opciones correctas
Sea f una función tal que f ’(c) = 0 y cuya segunda derivada existe 
en un intervalo abierto que contiene a c; por lo tanto: 
a. Si f “(c) < 0 entonces f(c) es un mínimo relativo
b. Si f “(c) < 0 entonces f(c) es un máximo relativo
5. Si está fluyendo agua en el interior de un tanque esférico a una 
razón constante, entonces la altura del nivel del líquido crece a 
una tasa variable y positiva dh/dt, pero d2h/dt2 es ________ hasta 
queh llega a la mitad de la altura del tanque, después de lo cual 
d2h/dt2 se vuelve __________
6. Si la derivada de una función en un intervalo es mayor que 
cero es decir: f ‘ (x)>0 entonces fes creciente en ese intervalo. 
Justifique el enunciado mediante un ejemplo.
7. Si la derivada de una función en un intervalo es menor que 
cero es decir: f ‘(x)< 0entonces f es decreciente en ese intervalo. 
Justifique el enunciado mediante un ejemplo.
Recta tangente y normal 
AC1. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a las 
curvas en el punto dado. Grafique.
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1 𝑃𝑃(2,1) 
b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 = − 5
2
 
c) 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 − 2, 𝑃𝑃(3, 1) 
d) 𝑔𝑔(𝑡𝑡) = (2𝑡𝑡 − 1)3 𝑥𝑥 = 4 
e) 𝑥𝑥 = �2 + 7𝑡𝑡
3
�
3 
 𝑡𝑡 = − 1
2
 
f) 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥
𝑥𝑥−3
+ 2 𝑥𝑥 = 8 
g) 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 𝑥𝑥 = 1