Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (26)

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3 GEOMETRÍA
3. GEOMETRÍA
1. ¿Qué son las “ecuaciones continuas” de una recta en R3? Explica cómo se obtienen a partir de ellas
las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones impĺıcitas de esa recta.
Solución: Son unas ecuaciones de la forma
x− p1
v1
=
y − p2
v2
=
z − p3
v3
donde P = (p1, p2, p3)
es un punto por el que pasa la recta y ~v = (v1, v2, v3) es un vector director de la recta. Si alguna
coordenada de ~v es nula entonces no tiene sentido la fracción correspondiente (dividiŕıamos por 0),
pero la coordenada correspondiente es constante; por ejemplo, si v1 = 0 entonces las ecuaciones son
x = p1 y
x− p2
v2
=
x− p3
v3
.
Dadas las ecuaciones continuas, las paramétricas son (x, y, z) = (p1 + λv1, p2 + λv2, p3 + λv3) y las
impĺıcitas se obtienen multiplicando en cruz, por ejemplo:
{
v2(x− p1) = v1(y − p2)
v3(y − p2) = v2(z − p3)
}
.
o
2. Define el producto escalar de vectores de Rn, enuncia sus propiedades algebraicas y di cuál es su
relación con la longitud de un vector y con el ángulo que forman dos vectores no nulos.
Solución: El producto escalar de ~v = (r1, r2, . . . , rn) y ~w = (s1, s2, . . . , sn) es el número real
~v · ~w = r1s1 + r2s2 + · · ·+ rnsn
Sus propiedades algebraicas son:
Es simétrico: ~v · ~w = ~w · ~v.
Es lineal en cada variable: ~v · (r1 ~w1 + r2 ~w2) = r1(~v · ~w1) + r2(~v · ~w2)
Es definido positivo: ~v · ~v > 0 si ~v 6= ~0 (y ~0 ·~0 = 0).
Su relación con la longitud de un vector y con el ángulo que forman dos vectores es:
La longitud (o norma o módulo) de un vector ~v es ‖~v‖ = +
√
~v · ~v.
Si ~v y ~w son no-nulos, el coseno del ángulo que forman es cos(~v, ~w) =
~v · ~w
‖~v‖ ‖~w‖ .
o
3. ¿Qué es el producto mixto de tres vectores ~u, ~v y ~w de R3? ¿Cómo se calcula en términos de las
coordenadas de los vectores?
Solución: El producto mixto es el numero real ~u · (~v × ~w) obtenido al hacer el producto escalar
del vector ~u por el vector ~v × ~w (el producto vectorial de ~v y ~w).
En cuanto al cálculo en términos de coordenadas, su valor es el del determinante 3× 3 que lleva en
la primera fila las coordenadas de ~u, en la segunda las de ~v y en la tercera las de ~w.
o
Matemáticas de 1 , problemas 76 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
4. Para vectores de R3, define los conceptos de producto vectorial y mixto, y enuncia sus propiedades.
Solución: El producto vectorial de ~v = (v1, v2, v3) y ~w = (w1, w2, w3) es un el vector de R
3 dado
por
~v × ~w =
(∣
∣
∣
∣
v2 v3
w2 w3
∣
∣
∣
∣
,
∣
∣
∣
∣
v3 v1
w3 w1
∣
∣
∣
∣
,
∣
∣
∣
∣
v1 v2
w1 w2
∣
∣
∣
∣
)
= (v2w3 − v3w2 , v3w1 − v1w3 , v1w2 − v2w1)
El producto mixto de tres vectores ~u, ~v y ~w es el escalar ~u · (~v × ~w). Algunas propiedades son:
a) Antisimetŕıa del producto escalar: ~v × ~w = −(~w × ~v).
b) Linealidad del producto escalar: ~u× (~v + r ~w) = (~u× ~v) + r(~u× ~w).
c) Si ~v y ~w son colineales, ~v × ~w = ~0. Si son LI, ~v × ~w es no nulo y ortogonal a ~v y a ~w.
d) La longitud ‖~v × ~w‖ coincide con el valor absoluto de ‖~v‖ ‖~w‖ sen(~v, ~w), que es a su vez el
área del paralelogramo que determinan ~v y ~w.
e) ~u · (~v × ~w) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
f ) El valor absoluto de ~u · (~v × ~w) es el volumen del paraleleṕıpedo que determinan los tres
vectores.
o
5. En R3 se consideran un punto Q y un plano π. ¿Qué es la proyección ortogonal de Q sobre π? ¿Qué
es la distancia de Q a π? ¿Qué relación hay entre esos dos conceptos?
Solución: La proyección ortogonal de Q sobre π es el punto Q′ en el que se cortan el plano π y
la única recta que es perpendicular a π y pasa por Q. La distancia de Q a π es el menor valor que
alcanzan las distancias entre Q y los puntos de π. Este menor valor se alcanza precisamente cuando
el punto que se toma en π es la proyección ortogonal Q′.
o
6. Explica qué es, en R3, la distancia de un punto Q a un plano π, y di cómo se puede calcular.
Solución: La distancia de un punto Q a un plano π es el mı́nimo de las distancias de Q a P para
puntos arbitrarios P de π. Ese mı́nimo se alcanza en el punto Q′ donde se cortan el plano π y la
recta perpendicular a π que pasa por Q (proyección ortogonal de Q sobre π), por lo que una forma
de calcular la distancia consiste en hallar ese punto de intersección Q′, pues entonces la distancia
de Q a π no es más que la distancia entre los puntos Q y Q′.
o
Matemáticas de 1 , problemas 77 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
7. En R3, define la distancia de un punto Q a un plano π, y di cómo se calcula. Y lo mismo para la
distancia de un punto Q a una recta ℓ.
Solución: La distancia entre Q y π es la menor distancia entre Q y los puntos de π, y se calcula
como la distancia entre Q y su proyección ortogonal sobre π, que es el punto Q′ donde se cortan π
y la recta perpendicular a π que pasa por Q.
La distancia entre Q y ℓ es la menor distancia entre Q y los puntos de ℓ, y se calcula como la
distancia entre Q y su proyección ortogonal sobre ℓ, que es el punto Q′ donde se cortan ℓ y el plano
perpendicular a ℓ que pasa por Q.
o
8. Dados un punto Q y una recta ℓ en R3, ¿cómo puede calcularse el punto de ℓ más próximo a Q?
Solución: Basta con hallar el plano perpendicular a ℓ que pasa por Q y calcular su intersección
con ℓ.
o
9. En R3, ¿qué es la proyección ortogonal de un punto Q sobre una recta ℓ?
Solución: Es el punto en el que ℓ corta al plano perpendicular a ℓ que pasa por Q.
o
10. En R3, la proyección ortogonal de un punto Q sobre un plano π es el punto Q′.
Si ~v es un vector perpendicular a π, ¿cuál es la proyección ortogonal sobre π del punto Q+ ~v ?
Si ~w es un vector en la dirección de π, ¿cuál es la proyección ortogonal sobre π de Q+ ~w ?
(La justificación de las respuestas puede ser intuitiva, basada en un dibujo).
Solución: Si ~v es perpendicular a π entonces Q+ ~v está en la perpendicular a π por Q, que es la
que usamos para calcular Q′ (cortándola con π). Por tanto la proyección es el propio Q′.
Si ~w está en la dirección de π entonces Q′ + ~w está en π, y el vector que lo une con Q + ~w es el
mismo que une a Q′ con Q, por lo que ese vector es perpendicular a π. En definitiva, Q′ + ~w está
a la vez en π y en la perpendicular a π por Q+ ~w, por lo que es la proyección buscada.
o
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