Herramientas algenbra lineal (60)

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178 CAPÍTULO 7. ENDOMORFISMOS ORTOGONALES Y SIMÉTRICOS
Solución:
Planteemos el sistema de ecuaciones que describen estos datos
x = 150
x = 153
x = 150
x = 151
,
sistema sobredeterminado que resolveremos mediante el método de los mı́nimos cua-
drados.
Escribamos el sistema de forma matricial Ax = b

1
1
1
1
x =

150
153
150
151

La matriz A del sistema es de rango máximo igual al número de columnas, por lo
que A+ = (AtA)−1At y la solución del sistema es x = (AtA)−1Atb.
La matriz AtA es el escalar 4, por lo tanto (AtA)−1 =
1
4
y Atb = 150+153+150+151.
Por lo que la solución coincide con la media aritmética de los datos x = 151 cm3.
— — —
21. Calcular la mejor solución aproximada del sistema:
2x1 + x2 − x3 = 5
x1 − x2 − 2x3 = 2
x1 + x2 = −1
x2 − x3 = 1

Solución:
Escribamos el sistema en forma matricial AX = b
179

2 1 −1
1 −1 −2
1 1 0
0 1 −1

x1x2
x3
 =

5
2
−1
1

La matriz A es de rango máximo igual al número de columnas, por lo que A+ =
(AtA)−1At y la solución del sistema es X = (AtA)−1Atb.
Calculando pues la matriz A+ tenemos que
x1 = 2, x2 =
2
5
, x3 =
−3
5
.
— — —
22. Determinar la recta de la forma y = ax + b que aproxima mejor, por mı́nimos
cuadrados, los puntos: (1,−1), (0, 1), (2, 1), (4, 2).
Solución:
Impongamos que los puntos (1,−1), (0, 1), (2, 1), (4, 2) verifican la ecuación de la
recta: 
1 1
0 1
2 1
4 1
(ab
)
=

−1
1
1
2
 .
Tenemos un sistema de la forma AX = B con A matriz de rango máximo e igual
al número de columnas por lo que A+ = (AtA)−1At y la solución del sistema es
X = (AtA)−1AtB, con a = 0, b =
3
7
, esto es la recta
y =
3
7
.
— — —
180 CAPÍTULO 7. ENDOMORFISMOS ORTOGONALES Y SIMÉTRICOS