Herramientas algenbra lineal (62)

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184 CAPÍTULO 8. FORMA REDUCIDA DE JORDAN
dim Ker (A + 2I) = 4− rango (A + 2I) = 4− rango

0 1 0 −1
0 0 0 4
−4 5 4 −4
0 0 0 4
 = 4− 3 = 1
lo que nos dice que hay una sola caja de Jordan para este valor propio, y que por lo
tanto (teniendo en cuenta que n1 = 2) tenemos una caja de tamaño dos.
dim Ker (A− 2I) = 4− rango (A+ 2I) = 4− rango

−4 1 0 −1
0 −4 0 4
−4 5 0 −4
0 0 0 0
 = 4− 3 = 1
al igual que para el valor propio -2, lo que también nos dice para este caso, es que
hay una sola caja de Jordan y que por lo tanto (teniendo en cuenta que n1 = 2)
tenemos una caja de tamaño dos.
En definitiva,
J =

−2 0
1 −2
2
1 2
 .
Busquemos ahora la base en la cual la matriz del endomorfismo adopta esta forma
reducida.
Empecemos por los vectores correspondientes al primer bloque de Jordan.
u1 ∈ Ker (A+ 2I)2\Ker (A+ 2I)
u2 = (A+ 2I)u1
(A+ 2I) =

0 1 0 −1
0 0 0 4
−4 5 4 −4
0 0 0 4
 , (A− 2I)2 =

0 0 0 0
0 0 0 16
−16 16 16 −8
0 0 0 16

Escogiendo pues u1 = (1, 1, 0, 0), tenemos que u2 = (1, 0, 1, 0)
Análogamente, para el segundo bloque
u3 ∈ Ker (A− 2I)2\Ker (A− 2I)
u4 = (A+ 2I)u3
185
(A− 2I) =

−4 1 0 −1
0 −4 0 4
−4 5 0 −4
0 0 0 0
 , (A− 2I)2 =

16 −8 0 8
0 16 0 −16
16 −24 0 24
0 0 0 0

Escogiendo pues u3 = (0, 1, 0, 1), tenemos que u4 = (0, 0, 1, 0)
ii) Teniendo en cuenta que Ai = (SJS−1)i = SJ iS−1, siendo
S =

1 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
 la matriz cambio de base obtenida en el apartado anterior.
Por lo tanto
A100 = SJ100S−1
J100 =

2100
−100 · 299 2100
2100
100 · 299 2100

iii) eA = SeJS−1 = Se
(
J1
J2
)
S−1)S
(
eJ1
eJ2
)
S−1.
Cada caja eλI+N = eλIeN = eλeN , eN = I +N +
1
2!
N2 + . . .
En ambos casos N i = 0 para todo i ≥ 2, por lo que eJ1 =
(
e−2
e−2 e−2
)
y eJ2 =(
e2
e2 e2
)
.
— — —
4. Probar que las matrices
A1 =
λ 0 01 λ 0
0 1 λ
 y A2 =
λ 1 00 λ 1
0 0 λ

186 CAPÍTULO 8. FORMA REDUCIDA DE JORDAN
son semejantes. (Es decir, existe una matriz S invertible tal que A1 = S
−1A2S).
Solución:
En efecto, basta tomar la matriz permutación siguiente
S =
0 0 10 1 0
1 0 0
 .
— — —
5. Sea A =

3 −1 1 2
1 1 1 1
0 0 0 2
0 0 −2 4
.
Hallar la forma reducida de Jordan aśı como la base en la cual la matriz adopta la
forma reducida hallada.
Solución:
Busquemos los valores propios
det(A− tI) = (t− 2)4
dim Ker (A− 2I) = 4− rango (A− 2I) = 4− rango

1 −1 1 2
1 −1 1 1
0 0 −2 2
0 0 −2 2
 = 4− 3 = 1.
Por lo tanto tenemos una única caja de Jordan y la forma reducida es
J =

2
1 2
1 2
1 2
 .
Pasemos a determinar una base de Jordan