Apuntes algebra lineal y geometria vega (149)

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4.6. ESTUDIO DE ALGUNAS APLICACIONES AFINES PARTICULARES 145
Ejemplo 4.6.1
En X = R2 se considera el subespacio af́ın Y = {(x, y) 2 X/x + 2y = 1}. Se tiene entonces que
W (Y ) =< (�2, 1) >, y consideramos como subespacio S =< (1, 1) >. ¿Cuál es la imagen del punto
M(7, 0) por pY,S?
La recta que pasa por M y tiene la dirección de S es la de ecuación x� y = 7. La intersección de
dicha recta con Y es el punto M 0(5,�2). Tal punto es la imagen de M .
4.6.2 Simetŕıas
Como en el caso de las proyecciones, Y es un subespacio af́ın de X, S un subespacio suplementario a
W (Y ), · · ·. Definimos la siguiente aplicación
sY,S : X �! X
M ! M”
donde M” es el punto de X tal que ~MM” = 2 ~MM 0 siendo M 0 = pY,S(M)
Proposición 4.6.2
La aplicación �M : V �! V que a cada vector v = ~MN le asocia el vector v” = ~M”N” (M” =
sY,S(M), N” = sY,S(N)) coincide con el endomorfismo de V pW (Y ),S � pS,W (Y ). La aplicación sY,S :
X �! X es por tanto af́ın, cuya aplicación lineal asociada es el endomorfismo señalado anteriormente.
La prueba de esta proposición está basada en la siguiente cadena de igualdades. La justificación
de los pasos intermedios se deja como ejercicio.
�( ~MN) = ~M”N” = ~M”M + ~MN + ~NN” = ~MN + 2( ~NN 0 � ~MM 0) = ~MN + 2( ~NM � ~N 0M 0) =
= ~NM + 2 ~M 0N 0 = � ~MN + 2pW (Y ),S( ~MN) = (2pW (Y ),S � IRn)( ~MN) = (pW (Y ),S � pS,W (Y ))( ~MN)
Definición 4.6.2
La aplicación af́ın sY,S recibe el nombre de simetŕıa (af́ın) de base Y en la dirección S.
Observar que:
- La simetŕıa anterior deja fijos los puntos de la base, esto es si M 2 Y entonces sY,S(M) = M .
Pero si M 62 Y , sY,S(M) 62 Y .
- s2Y,S = IX , como puede probarse fácilmente.
- La igualdad anterior ya es suficiente para garantizar que la simetŕıa es biyectiva. Otra forma de
justificarlo es viendo que la aplicación lineal asociada a la simetŕıa es un isomorfismo, por tanto la
simetŕıa (af́ın) es una transformación, que en general no es movimiento.
- En el caso en que una simetŕıa af́ın tenga como base una variedad af́ın cuya dirección sea
perpendicular a la dirección de la simetŕıa, es un movimiento.
Recuérdese que en la primera sección de este caṕıtulo se ha probado que si U es un subespacio
de V , la aplicación pU � pU? es una isometŕıa (pU proyección vectorial de base U y dirección U?, y
análogo para pU?).
En el caso que nos ocupa, haciendo U = W (Y ) y S = U? = W (Y )?, obtenemos que la aplicación
vectorial asociada a la simetŕıa af́ın sY,W (Y )? es una isometŕıa, lo que equivale a que sY,W (Y )? conserve
las distancias. En esta situación: