Apuntes algebra lineal y geometria vega (150)

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146 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Definición 4.6.3
La simetŕıa af́ın sY,W (Y )? recibe el nombre de simetŕıa ortogonal del espacio af́ın X. Como la variedad
af́ın Y determina W (Y ) y W (Y )?, dicho movimiento se denota por sY .
Ejemplo 4.6.2
En X = R2 se considera el subespacio af́ın Y = {(x, y) 2 X/x + 2y = 1}. Se tiene entonces que
W (Y ) =< (�2, 1) >, y consideramos como subespacio S =< (1, 1) >. La imagen del punto M(7, 0)
por pY,S es M 0(5,�2), por tanto la imagen de M por sY,S es M”(3,�4). ¿Cuál es la imagen de M
por la simetŕıa ortogonal sY ?
4.6.3 Traslaciones
En este apartado vamos a mostrar cómo cada vector (fijo) v de V = Rn determina una aplicación
en el espacio af́ın X = Rn que ”mueve” cada punto de X, en la dirección y sentido que indica v, la
longitud dada por su módulo.
Dado pues un vector v 2 V , se define tv : X ! X como la aplicación que a cada punto P le asigna
el punto P 0 tal que ~PP 0 = v.
Definición 4.6.4
La aplicación tv anterior recibe el nombre de traslación de vector v.
Proposición 4.6.3
En relación a las traslaciones se tienen las siguientes propiedades.
1. Toda traslación es un movimiento.
2. La traslación t~0 es la aplicación identidad, y cualquier otra traslación tv con v 6= ~0 no deja
puntos fijos.
3. El vector de una traslación queda determinado por un punto y su imagen.
4. Una aplicación af́ın definida en X es una traslación si y sólo si la aplicación lineal asociada es
la identidad en V .
Demostración
Si Q 2 X es un punto cualquiera, denotaremos Q0 = tv(Q).
Sea P un punto fijo de X, y definimos la aplicación �P : V = Rn ! V = Rn que a cada vector
w = ~PQ le asocia el vector w0 = ~P 0Q0. Puesto que v = ~PP 0 = ~QQ0, se tiene que w = ~PQ = ~P 0Q0 = w0
y por tanto que �P = IV . Si tenemos en cuenta toda la información que este hecho nos proporciona,
podemos concluir que tv es af́ın, es biyectiva y conserva distancias, es decir, es movimiento.
Los puntos segundo y tercero son inmediatos, y una de las implicaciones del último de los apartados
está probado al probar el punto 1. Veámos por último que una aplicación af́ın f cuya aplicación lineal
asociada sea la identidad es una traslación.
Si la ecuación matricial de f respecto el sistema de referencia canónico es
0
@
x01
...
x0n
1
A =
0
@
a1
...
an
1
A+ In
0
@
x1
...
xn
1
A