Apuntes algebra lineal y geometria vega (162)

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158 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
4.8 Problemas de Geometŕıa Eucĺıdea
Problema 4.8.1
En R5 se tiene definido el producto interior habitual y se considera el subespacio
W = h(1, 2, 3,�1,�2), (2, 4, 7, 2,�1)i
i) Determina el conjunto W? de vectores de R5 ortogonales a todos los de W , y demuestra que es
un subespacio de R5. ¿Quiénes son W \W? y W +W??.
ii) Calcula bases ortonormales para W y para su complemento ortogonal W?.
Problema 4.8.2
En R3 con el producto interior habitual se consideran los vectores v = (1, 0, 1), w = (1, 2, 0) y
u = (0, 2, 3).
i) Halla, a partir de los vectores anteriores, una base ortonormal de R3 aplicando el proce-dimiento
de Gram-Schmidt.
ii) Halla una base del complemento ortogonal al subespacio generado por v y u.
iii) Halla la intersección de los subespacios S y T , donde S es el subespacio ortogonal a los vectores
v y u, y T es el subespacio ortogonal a los vectores v y w.
Problema 4.8.3
Halla una base ortonormal u, v, w de R3 tal que el subespacio generado por u y v esté contenido en el
plano x+ y + z = 0, y el generado por u y w lo esté en el plano 2x� y � z = 0.
Problema 4.8.4
Demuestra que los vectores de R4: u = (1/
p
2, 0, 1/
p
2, 0) y v = (�1/2, 1/2, 1/2,�1/2) son ortonor-
males y halla una base ortonormal de R4 que incluya los vectores anteriores.
Problema 4.8.5
¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones?.
i) Si P y Q son matrices ortogonales de orden n⇥ n, entonces PQ es ortogonal.
ii) Si P es una matriz ortogonal simétrica, entonces P 2 = I.
iii) Si P es ortogonal, entonces detP = +1.
Problema 4.8.6
Sean u y v dos vectores ortonormales de Rn. Prueba que la norma de u� v es
p
2.