problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (38)

Vista previa del material en texto

2.3 Relaciones de equivalencia (2)
Nótese que cada clase tiene dos elementos, salvo en el caso a = 1 − a (es
decir, a = 1/2) que sólo tiene un elemento: C[1/2] = {1/2}.
B. Reflexiva. Para todo (x, y) ∈ E se verifica x2 + y2 = x2 + y2, en conse-
cuencia (x, y)R(x, y).
Simétrica. Para todo (x, y), (z, t) ∈ E :
(x, y)R(z, t)⇒ x2 + y2 = z2 + t2 ⇒ z2 + t2 = x2 + y2 ⇒ (z, t)R(x, y).
Transitiva. Para todo (x, y), (z, t), (u, v) ∈ E :{
(x, y)R(z, t)
(z, t)R(u, v)
⇒
{
x2 + y2 = z2 + t2
z2 + t2 = u2 + v2
⇒ x2 + y2 = u2 + v2 ⇒ (x, y)R(u, v).
La relación R es por tanto de equivalencia. Determinemos una clase genérica,
para ello elijamos (x0, y0) ∈ E fijo. La clase a la que pertenece (x0, y0) es:
C[(x0, y0)] = {(x, y) ∈ E : (x, y)R(x0, y0)} = {(x, y) ∈ E : x2+y2 = x20+y20}.
Dado que x20 + y
2
0 ≥ 0, la clase C[(x0, y0)] representa una circunferencia de
centro el origen y radio r =
√
x20 + y
2
0. En consecuencia,
E/R = {Cr : r ≥ 0} (Cr circunf. de centro (0, 0) y radio r).
Nótese que para r = 0, la circunferencia consta de un único punto: el (0, 0).
C. Sea a ∈ R. La clase de equivalencia determinada por a es:
[a] = {x ∈ R : xRa} = {x ∈ R : |x| = |a|} = {−a, a}
por tanto, el conjunto cociente es: A/R = {{−a, a} : a ∈ R} .
2.3. Relaciones de equivalencia (2)
A. Sea X el conjunto de todas funciones de R en R. Dadas x(t), y(t) ∈ X
se define la relación:
x(t)Ry(t)⇔ ĺım
t→0
x(t)− y(t)
t2
= 0.
Demostrar que R es una relación de equivalencia.
B. En el conjunto E = R × R se define la relación (x, y)R(z, t) ⇔ x = z.
Demostrar que R es relación de equivalencia e identificar geométricamente
	Relaciones
	Relaciones de equivalencia (2)