problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (51)

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Caṕıtulo 2. Relaciones
tales que a = pb y b = qa lo cual implica que a = pqa. Necesariamente es
pq = 1 y al ser p, q naturales, p = q = 1, de lo cual se deduce a = b. La
relación R es antisimétrica.
b) Propiedades de la relación S :
(i) Reflexiva. Para todo a ∈ N se verifica a + a = 2a lo cual implica que a
es múltiplo de 2, es decir S es reflexiva.
(ii) Simétrica. Si aSb entonces a+ b es múltiplo de 2. Como b+ a = a+ b,
también b+ a es múltiplo de 2, es decir bSa. La relación S es simétrica.
(iii) Transitiva. Sean a, b, c ∈ N tales que aSb y bSc. Entonces existen
p, q ∈ N tales que a+b = 2p y b+c = 2q lo cual implica que a+c = 2(p+q−b),
y por tanto aSc. La relación S es transitiva.
(iv) Antisimétrica. Para a = 1, b = 3 tenemos aSb, bSa y sin embargo a 6= b.
La relación S no es antisimétrica.
c) Propiedades de la relación T :
(i) Reflexiva. Para a = 1 tenemos aa = 1, que no es múltiplo de 2. La
relación T no es es reflexiva.
(ii) Simétrica. Si aSb entonces ab es múltiplo de 2. Como ba = ab, también
ba es múltiplo de 2, es decir bTa. La relación T es simétrica.
(iii) Transitiva. Para a = 3, b = 2, c = 5 se verifica aTb y bTc, sin embargo
no se verifica aTc. La relación T no es transitiva.
(iv) Antisimétrica. Para a = 1, b = 2 tenemos aTb, bTa y sin embargo a 6= b.
La relación T no es antisimétrica.
Concluimos que R es exactamente reflexiva, antisimétrica y transitiva; S
exactamente reflexiva, simétrica y transitiva y T exactamente simétrica.
2. Del apartado anterior, concluimos que R es relación de orden, S es de
equivalencia, y T no es ni de orden ni de equivalencia.
3. Para a = 2, b = 3 no se verifica ni aRb ni bRa, es decir R es relación de
orden parcial. Las clases de equivalencia de los elementos 1 y 2 asociadas a
la relación S son:
[1] = {1, 3, 5, 7, . . .} , [2] = {2, 4, 6, 8, . . .}.
Dado que [1] ∪ [2] = N, las únicas clases de equivalencia son [1] y [2]. El
conjunto cociente es por tanto N/S = {[1] [2]}.
2.11. Finura de las relaciones de orden
Sea E un conjunto y Ω el conjunto de todas las relaciones de orden definidas
en E. Diremos que la relación de orden ŵ es mas fina que la relación w si y
	Relaciones
	Finura de las relaciones de orden