problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (70)

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4.1 Concepto de grupo
Probar que ley ∗ confiere a G estructura de grupo no abeliano.
9. a) Demostrar que sobre R la ley interna definida por x∗y = x+y−xy, es
conmutativa, asociativa y que admite elemento neutro. ¿Es (R, ∗) un grupo?
b) Calcular x ∗ x ∗ . . . ∗ x︸ ︷︷ ︸
n
.
10. Estudiar si (Q \ {0}, ∗) es grupo siendo a ∗ b = ab
7
.
Solución. 1. Efectivamente, la suma de enteros es un entero. La suma de
enteros es asociativa. Para todo entero x se verifica x+ 0 = 0 + x = x, por
tanto e = 0 ∈ Z es elemento neutro. Para todo x entero, −x se satisface
x+ (−x) = (−x) + x = 0, es decir todo entero tiene simétrico x′ = −x ∈ Z.
Además, sabemos que la suma de enteros es conmutativa y por tanto (Z,+)
es grupo abeliano.
Razonando de manera análoga, deducimos que (Q,+), (R,+) y (C,+) son
grupos abelianos.
2. La suma de dos matrices de órdenes m×n es otra matriz de orden m×n.
La suma de matrices es asociativa. Para toda matriz A de orden m × n se
verifica A + 0 = 0 + A = A, siendo 0 la matriz nula de m × n, por tanto 0
es elemento neutro. Para toda matriz A de orden m × n, la matriz −A de
orden m × n verifica A + (−A) = (−A) + A = 0, es decir todo elemento A
de Mm×n(R) tiene simétrico, siendo este, −A.
Además, sabemos que la suma de matrices es conmutativa y por tanto
(Mm×n(R),+) es grupo abeliano.
3. La operación ∗ es claramente interna. Para x, y, z números reales cuales-
quiera se verifica
(x ∗ y) ∗ z = (x+ y + 4) ∗ z = x+ y + 4 + z + 4 = x+ y + z + 8.
x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (y + z + 4) = x+ y + z + 4 + 4 = x+ y + z + 8.
Es decir, la operación es asociativa. Para x, y números reales cualesquiera
se verifica
x ∗ y = x+ y + 4 = y + x+ 4 = y ∗ x,
por tanto la operación es conmutativa. En consecuencia, el número real e
es neutro para la operación ∗ si y sólo si e ∗ x = x para todo x ∈ R. Esto
equivale a e+x+4 = x, es decir e = −4 es elemento neutro para la operación
∗. Debido a la conmutatividad, un x ∈ R tiene elemento simétrico x′ ∈ R si
y sólo si x ∗ x′ = e o bien si x+ x′ + 4 = −4. Existe por tanto x′ para cada
x siendo éste x′ = −8− x.