problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (75)

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Caṕıtulo 4. Grupos
relaciones que se verifican para a′ = 49/a. Hemos demostrado que (Q\{0}, ∗)
es grupo.
Es además abeliano pues para a, b elementos de Q \ {0}:
a ∗ b = ab
7
=
ba
7
= b ∗ a.
4.2. Primeras propiedades de los grupos
1. Sea (G, ∗) un grupo. Demostrar que:
(i) El elemento neutro e es único.
(ii) Para cada x ∈ G su simétrico x′ es único.
(iii) Para cada x ∈ G se verifica (x′)′ = x (es decir, el simétrico del simétrico
de un elemento es el elemento).
(iv) Para cualquier par de elementos x, y de G se verifica (x ∗ y)′ = y′ ∗ x′
(es decir, el simétrico del operado de dos elementos es el operado de los
simétricos cambiado de orden).
(v) Todos elemento a de G es regular, es decir:
a ∗ b = a ∗ c⇒ b = c, b ∗ a = c ∗ a⇒ b = c.
2. Sea (G, ∗) un grupo. Escribir la propiedad (x ∗ y)′ = y′ ∗ x′ en notaciones
aditiva y multiplicativa.
3. Sea un grupo (G, ·) tal que para todo x ∈ G se verifica x2 = e. Demostrar
que el grupo es abeliano.
4. Sobre un grupo multiplicativo abeliano, resolver la ecuación xabxc = bxa.
5. Sobre un grupo multiplicativo cualquiera, hallar una solución de la ecua-
ción xax = bba−1.
Solución. 1. (i) Supongamos que existieran dos elementos neutros e y e′.
Por ser e neutro se verifica e ∗ e′ = e′ y por ser e′ neutro, e ∗ e′ = e. En
consecuencia e = e′.
(ii) Supongamos que x tuviera dos simétricos x′ y x′′, entonces se verificaŕıa
x ∗ x′ = x′ ∗ x = e, x ∗ x′′ = x′′ ∗ x = e.
Las igualdades anteriores implican x ∗ x′ = x ∗ x′′. Entonces,
x ∗ x′ = x ∗ x′′ ⇒ x′ ∗ (x ∗ x′) = x′ ∗ (x ∗ x′′)⇒
(x′ ∗ x) ∗ x′ = (x′ ∗ x) ∗ x′′ ⇒ e ∗ x′ = e ∗ x′′ ⇒ x′ = x′′.
	Grupos
	Primeras propiedades de los grupos