problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (77)

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Caṕıtulo 4. Grupos
4.3. Subgrupos
1. Demostrar el teorema de caracterización de subgrupos:
Sea (G, ∗) un grupo y H ⊂ G. Entonces, H es subgrupo de G si y sólo si se
verifican las condiciones
(i) H 6= ∅.
(ii) Para todo x ∈ H y para todo y ∈ H se verifica x ∗ y′ ∈ H.
2. Demostrar que el conjunto H de los enteros pares es un subgrupo de
(Z,+).
3. En R2 se define la operación + de la siguiente manera:
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2).
(i) Demostrar que (R2,+) es grupo.
(ii) Demostrar que H1 = {(α, 0) : α ∈ R} y H2 = {(0, β) : β ∈ R} son
subgrupos de R2.
(iii) Demostrar que H1 ∪ H2 no es subgrupo de R2 (esto prueba que en
general la unión de subgrupos de un grupo, no es subgrupo del mismo).
4. Sea (G, ∗) un grupo. Demostrar que {e} y G son subgrupos de G.
Nota. A estos dos subgrupos se les llama subgrupos impropios, a los demás
subgrupos de G se les llama subgrupos propios.
5. Sea (G, ∗) un grupo y sean H1 y H2 subgrupos de G. Demostrar que
H1 ∩H2 es subgrupo de G.
6. Sea el grupo (G, ·) y sea {Hj : j ∈ J} una familia de subgrupos de G.
Demostrar que
⋂
j∈J Hj es subgrupo de G.
7. Sea m entero, y sea (m) = {x ∈ Z : x es múltiplo de m}. Demostrar que
(m) es subgrupo de (Z,+).
8. Demostrar que los únicos subgrupos de Z son los de la forma (m) con m
entero.
Solución. 1. Si H es subgrupo de G el neutro e de G pertenece a H y
por tanto H 6= ∅. Si x e y son elementos de H, el simétrico y′ de y perte-
nece a H por ser (H, ∗) grupo. Por la interna de ∗ en H se verifica x∗y′ ∈ H.
Rećıprocamente, supongamos que se verifica (i) y (ii). Veamos que H es
subgrupo de G. Como H 6= ∅ sea z ∈ H. Por (ii) se verifica e = z ∗ z′ ∈ H,