problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (87)

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Caṕıtulo 4. Grupos
Solución. (a) Claramente ∗ es una ley de composición interna. Veamos que
cumple la propiedad asociativa. Por un parte:
[(x1, y1) ∗ (x2, y2)] ∗ (x3, y3) = (x1 + (−1)y1x2 , y1 + y2) ∗ (x3, y3)
= (x1 + (−1)y1x2 + (−1)y1+y2x3 , y1 + y2 + y3).
Por otra:
(x1, y1) ∗ [(x2, y2) ∗ (x3, y3)] = (x1, y1) ∗ (x2 + (−1)y2x3 , y2 + y3)
= (x1 + (−1)y1(x2 + (−1)y2x3) , y1 + y2 + y3).
Dado que x1 +(−1)y1(x2 +(−1)y2x3) = x1 +(−1)y1x2 +(−1)y1+y2x3 conclui-
mos que la operación ∗ es asociativa. Veamos que existe elemento neutro.
En efecto, (e1, e2) ∈ G es elemento neutro si y sólo si para todo (x, y) ∈ G
se verifica (x, y) ∗ (e1, e2) = (e1, e2) ∗ (x, y) = (x, y), o equivalentemente
(x+ (−1)ye1 , y + e2) = (e1 + (−1)e2x , e2 + y) = (x, y).
Esta igualdad se verifica para (e1, e2) = (0, 0), que es por tanto el elemento
neutro de la ley de composición interna ∗. Veamos ahora que todo elemento
(x, y) ∈ G tiene elemento simétrico. En efecto, (x′, y′) es simétrico de (x, y)
si y sólo si (x, y) ∗ (x′, y′) = (x′, y′) ∗ (x, y) = (0, 0), o equivalentemente
(x+ (−1)yx′ , y + y′) = (x′ + (−1)y′x , y′ + y) = (0, 0). (1)
De y+y′ = 0 deducimos y′ = −y y de x+(−1)yx′ = 0 que x′ = −(−1)−yx o
bien x′ = (−1)1−yx. Para estos valores de x′ e y′ se verifican las igualdades
(1). Concluimos que todo elemento (x, y) ∈ G tiene simétrico, siendo este
(x, y)−1 = (x′, y′) = ((−1)1−yx , −y).
Hemos demostrado que (G, ∗) es grupo. No es abeliano pues por ejemplo
(1, 0) ∗ (0, 1) = (1 + (−1)0 · 0 , 0 + 1) = (1, 1),
(0, 1) ∗ (1, 0) = (0 + (−1)1 · 1 , 1 + 0) = (−1, 1).
(b) Veamos que H es un subgrupo de G. En efecto, (0, 0) ∈ H lo cual implica
que H 6= ∅. Sean (x1, 0) y (x2, 0) elementos de H, entonces,
(x1, 0) ∗ (x2, 0)−1 = (x1, 0) ∗ ((−1)1−0x2 , −0) = (x1, 0) ∗ (−x2, 0)
= (x1 + (−1)0 · (−x2) , 0 + 0) = (x1 − x2, 0) ∈ H.
Veamos que H es normal. Sean (g1, g2) ∈ G y (h, 0) ∈ H entonces
(g1, g2) ∗ (h, 0) ∗ (g1, g2)−1 = (g1 + (−1)g2h , g2) ∗ ((−1)1−g2g1 , −g2).