problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (92)

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4.12 Homomorfismos de grupos
2. Demostrar que la aplicación f : R → R, f(x) = ax con a > 0 real fijo es
homomorfismo entre los grupos (R,+) y (R− {0}, ·).
3. Se considera la aplicación f : R→ R dada por f(x) = a+x con a número
real fijo. Analizar si f es homomorfismo entre los grupos (R,+) y (R,+).
4. Sea R+ el conjunto de los números reales positivos. Se considera la aplica-
ción f : R+ → R dada por f(x) = log x. Demostrar que f es homomorfismo
entre los grupos (R+, ·) y (R,+).
5. Sea f : G → G′ un homomorfismo entre los grupos (G, ·) y (G′, ·). Sea e
el neutro de G y e′ el neutro de G′. Demostrar que,
(i) f(e) = e′.
(ii) Para todo x ∈ G se verifica f(x−1) = (f(x))−1.
6. Demostrar que la composición de homomorfismos de grupos es un homo-
morfismo.
7. Sea R+ el conjunto de los números reales positivos. En G = R+ × R+ se
define la operación (x, y) ∗ (z, u) = (xz, yu).
(i) Demostrar que (G, ∗) es grupo abeliano.
(ii) Demostrar que la aplicación: f : G→ R, f(x, y) = log(xy) es homomor-
fismo entre los grupos (G, ∗) y (R,+).
Solución. 1. En efecto, para todo x, y ∈ R se verifica:
f(x+ y) = a(x+ y) = ax+ ay = f(x) + f(y).
2. En efecto, para todo x, y ∈ R se verifica:
f(x+ y) = ax+y = axay = f(x) · f(y).
3. Tenemos que analizar si se verifica f(x+ y) = f(x) + f(y) para todo x, y
elementos de R. Tenemos:
f(x+ y) = a+ (x+ y), f(x) + f(y) = (a+ x) + (a+ y).
Ahora bien, f(x + y) = f(x) + f(y) ⇔ a + x + y = 2a + x + y ⇔ a = 2a
⇔ a = 0. Es decir, f es homomorfismo entre los grupos (R,+) y (R,+), si
y sólo si a = 0.
4. Para todo x, y elementos de R+ se verifica:
f(xy) = log(xy) = log x+ log y = f(x) + f(y),