problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (97)

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Caṕıtulo 4. Grupos
Veamos que g es monomorfismo. El núcleo de g es:
ker g = {x ker f ∈ G/ ker f : g(x ker f) = f(x) = e′} = {ker f} = {e ker f},
es decir el núcleo de g se reduce a elemento neutro de G/ ker f lo cual implica
que g es inyectiva.
Veamos que g es epimorfismo. En efecto, si x′ ∈ Im f, entonces x′ = f(x)
para algún x ∈ G, luego x′ = g(x ker f). Esto implica que g es sobreyectiva.
Concluimos que g es isomorfismo.
3. Para todo x, y elementos de Im f, i(x+ y) = x+ y = i(x) + i(y) es decir,
i es homomorfismo. Ademas, i(x) = i(y) implica x = y, luego i es inyectiva.
4. Para todo x ∈ G, (i ◦ g ◦ n)(x) = (i ◦ g)(x ker f) = i(f(x)) = f(x), por
tanto, i ◦ g ◦ n = f.
B. 1. Se verifica f(xy) = (xy)2 = x2y2 = f(x)f(y) para todo par de números
reales no nulos x e y lo cual implica que f es homomorfismo de grupos.
2. Aplicando las definiciones de núcleo e imagen:
ker f = {x ∈ R∗ : f(x) = 1} = {x ∈ R∗ : x2 = 1} = {−1, 1},
Im f = {y ∈ R∗ : ∃x ∈ R∗ con y = x2} = (0,+∞).
3. Sea a ∈ R∗. La clase [a] a la que pertenece a está formada por los elementos
x ∈ R∗ tales que xa−1 ∈ ker f es decir, los que cumplen f(ax−1) = x2a−2 = 1
o de forma equivalente, los que cumplen x2 = a2. Por tanto, [a] = {−a, a}.
En consecuencia:
R∗/ ker f = {[a] : a ∈ R∗} = {{−a, a} : a ∈ R∗} .
4. Sabemos que el epimorfismo natural n : R∗ → R∗/ ker f está definido
mediante n(a) = [a], el isomorfismo canónico g : R∗/ ker f → Im f por
g([a]) = f(a) y el monomorfismo canónico i : Im f → R∗ por i(y). La
factorización canónica de f es por tanto:
R∗ f−−−−→ R∗
n ↓ ↑ i
R∗/ ker f g−−→ Im f

f(a) = a2
n(a) = {−a, a}
g({−a, a}) = a2
i(y) = y,
siendo el diagrama anterior es conmutativo (f = i◦g ◦n) como sabemos por
un conocido teorema. Efectivamente, para todo a ∈ R∗ :
(i ◦ g ◦ n)(a) = (i ◦ g)({−a, a}) = i(a2) = a2 = f(a),
lo cual implica f = i ◦ g ◦ n.
	Grupos
	Grupo de las partes con la diferencia simétrica