problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (217)

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Caṕıtulo 8. Determinantes sobre un cuerpo
Restando a cada columna la siguiente:
∆ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x− a a− b b− c c− d d
0 x− a a− b b− c c
0 0 x− a a− b b
0 0 0 x− a a
0 0 0 0 x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (x− a)4x.
2. Restando a cada fila (a partir de la segunda), la primera:
∆n =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
n 1 1 . . . 1
0 1 0 . . . 0
0 0 2 . . . 0
...
...
0 0 0 . . . n− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= n · 1 · 2 · . . . · (n− 1) = n!.
3. Efectuando las transformaciones F2− 2F1, F3−F2, F4−F2, . . . , Fn−F2 :
∆n =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 2 . . . 2
0 −2 −2 . . . −2
0 0 1 . . . 0
...
...
0 0 0 . . . n− 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 1 · (−2) · 1 · . . . · (n− 2) = −2[(n− 2)!].
4. Sumando a cada fila (menos a la primera), la primera:
∆n =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 . . . n
0 2 6 . . . 2n
0 0 3 . . . 2n
...
...
0 0 0 . . . n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 1 · 2 · 3 · . . . · n = n!.
5. Restando a tolas las filas (salvo a la primera), la primera:
∆n =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a b b . . . b
b− a a− b 0 . . . 0
b− a 0 a− b . . . 0
...
...
b− a 0 0 . . . a− b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Sumando a la primera columna la suma de todas las demás:
∆n =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a+ (n− 1)b b b . . . b
0 a− b 0 . . . 0
0 0 a− b . . . 0
...
...
0 0 0 . . . a− b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= [a+ (n− 1)b](a− b)n−1.
	Determinantes sobre un cuerpo
	Determinantes por triangularización (2)