problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (236)

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8.12 Determinante e inversa de orden n
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).
Solución. 1. Para hallar D2 sumamos a la primera fila la segunda y para
D3 sumamos a la segunda fila la tercera.
D1 = det[a1] = a1, D2 =
∣∣∣∣a1 + a2 −a2−a2 a2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a1 0−a2 a2
∣∣∣∣ = a1a2,
D3 =
∣∣∣∣∣∣
a1 + a2 −a2 0
−a2 a2 + a3 −a3
0 −a3 a3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
a1 + a2 −a2 0
−a2 a2 0
0 −a3 a3
∣∣∣∣∣∣ = a3D2 = a1a2a3.
2. Sumando a la penúltima fila la última:
Dn+1 =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 + a2 −a2 0 0 . . . 0 0 0
−a2 a2 + a3 −a3 0 . . . 0 0 0
0 −a3 a3 + a4 −a4 . . . 0 0 0
...
...
0 0 0 0 . . . −an an + an+1 −an+1
0 0 0 0 . . . 0 −an+1 an+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 + a2 −a2 0 0 . . . 0 0 0
−a2 a2 + a3 −a3 0 . . . 0 0 0
0 −a3 a3 + a4 −a4 . . . 0 0 0
...
...
0 0 0 0 . . . −an an 0
0 0 0 0 . . . 0 −an+1 an+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= an+1Dn.
3. Los cálculos efectuados en el primer apartado sugieren la fórmula Dn =
a1a2 . . . an. Demostrémosla por inducción. Está demostrado que es cierta
para n = 1. Se cierta para n, entonces por el apartado anterior, Dn+1 =
an+1Dn = a1a2 . . . anan+1 es decir, la fórmula es cierta para n+ 1.
4. Sumando a la penúltima fila la última y usando las relaciones entre los
números aj y bj obtenemos
|An| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b1 b1 b1 . . . b1 b1
0 b2 − b1 b2 − b1 . . . b2 − b1 b2 − b1
0 0 b3 − b2 . . . b3 − b2 b3 − b2
...
...
0 0 0 . . . bn−1 − bn−2 bn−1 − bn−2
0 0 0 . . . 0 bn − bn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
b1(b2 − b1)(b3 − b2) . . . (bn−1 − bn−2)(bn − bn−1) =
1
a1
1
a2
1
a3
· . . . · 1
an
.