problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (259)

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Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales
La hipótesis hecha en (c) implica −w = 0 lo cual demuestra que
F1 ∩ (F2 + . . .+ Fm) = {0}.
Cambiando los ı́ndices se demuestra de forma análoga que Fi
⋂(∑
j 6=i Fj
)
=
{0} para todo i.
2. Todo vector x = (x1, x2, x3) ∈ R3 se puede expresar en la forma:
x = (x1, x2, x3) = (x1, 0, 0) + (0, x2, 0) + (0, 0, x3),
y dado que (x1, 0, 0) ∈ F1, (0, x2, 0) ∈ F2 y (0, 0, x3) ∈ F3, se verifica R3 =
F1 + F2 + F3.
Sean ahora, v1 = (α, 0, 0) ∈ F1, v2 = (0, β, 0) ∈ F2 y v3 = (0, 0, γ) tales que
v1 + v2 + v3 = 0. Entonces,
v1 + v2 + v3 = 0⇒ (α, β, γ) = (0, 0, 0)
⇒ α = β = γ = 0⇒ v1 = v2 = v3 = 0.
Concluimos que R3 = F1 ⊕ F2 ⊕ F3.
3. Sea f ∈ E y consideremos las funciones fi : [0, 1]→ R
f1(x) =
{
f(x) si x ∈ [0, 1/3]
0 si x 6∈ [0, 1/3],
f2(x) =
{
f(x) si x ∈ (1/3, 2/3)
0 si x 6∈ (1/3, 2/3),
f3(x) =
{
f(x) si x ∈ [2/3, 1]
0 si x 6∈ [2/3, 1).
Claramente fi ∈ Fi para todo i = 1, 2, 3 y f = f1 + f2 + f3 es decir,
E = F1 +F2 +F3. Por otra parte, de la igualdad f1 +f2 +f3 = 0 con fi ∈ Fi
con i = 1, 2, 3 fácilmente deducimos que f1 = f2 = f3 = 0. Concluimos pues
que E = F1 ⊕ F2 ⊕ F3.
9.11. Combinación lineal de vectores
1. En el espacio vectorial real usual R2 estudiar si el vector x = (−14, 8) es
combinación lineal de los vectores v1 = (−1, 7), v2 = (4, 2).
	Espacios vectoriales
	Combinación lineal de vectores