problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (267)

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Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales
y el determinante de la matriz del sistema es D = er2 − er1 . Pero la función
exponencial es inyectiva y r1 6= r2, luego D 6= 0. Esto implica que λ1 = λ2 =
0 y por tanto er1x y er2x son linealmente independientes.
Supongamos ahora que la propiedad es cierta para n, y consideremos las
n+ 1 funciones:
er1x, er2x, . . . , ernx, ern+1x con ri 6= rj si i 6= j.
Escribamos una combinación lineal de las funciones anteriores igualada a la
función nula:
λ1e
r1x + λ2e
r2x + · · ·+ λnernx + λn+1ern+1x = 0.
Dividiendo al igualdad anterior entre ern+1x :
λ1e
(r1−rn+1)x + λ2e
(r2−rn+1)x + · · ·+ λne(rn−rn+1)x + λn+1 = 0. (∗)
Derivando la igualdad anterior:
λ1(r1 − rn+1)e(r1−rn+1)x + λ2(r2 − rn+1)e(r2−rn+1)x
+ · · ·+ λn(rn − rn+1)e(rn−rn+1)x = 0.
Dado que los n números rj − rn+1 (j = 1, . . . , n) son distintos dos a dos, se
deduce de la hipótesis de inducción que
λ1(r1 − rn+1) = 0, λ2(r2 − rn+1) = 0, . . . , λn(rn − rn+1) = 0,
lo cual implica que λ1 = . . . = λn = 0. Sustituyendo estos escalares en la
igualdad (∗), queda λn+1 = 0. Hemos demostrado que la propiedad es cierta
para n+ 1.
13. Bastará demostrar que para cada n = 1, 2, . . . la familia finita Fn =
{f1, f2, . . . , fn} es libre. Sea la igualdad
λ1 cosx+ λ2 cos
2 x+ · · ·+ λn cosn x = 0 ∀x ∈ [0, π/2].
La aplicación g : [0, π/2]→ [0, 1] dada por g(x) = t = cosx sabemos que es
una biyección, en consecuencia, la igualdad λ1t+λ2t
2+· · ·+λntn = 0 se ha de
verificar para todo t ∈ [0, 1]. Queda por tanto una ecuación polinómica con
infinitas ráıces, lo cual implica que el primer miembro ha de ser el polinomio
nulo, es decir λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
	Espacios vectoriales
	Base de un espacio vectorial