problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (279)

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Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales
es 4. Dado que la matriz es cuadrada, bastará demostrar que detA 6= 0.
Efectuando las transformaciones F2 − 4F1, F3 − 2F1, F3 + 3F1 :
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 −2 5
0 −10 15 −23
0 1 −1 −6
0 11 −8 22
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·
∣∣∣∣∣∣
−10 15 −23
1 −1 −6
11 −8 22
∣∣∣∣∣∣ = −689 6= 0.
9.20. Teorema de la base incompleta
1. Dados los vectores de R4, v1 = (2,−1, 3, 4) y v2 = (0, 5, 1,−1), comple-
tarlos con otros dos para formar una base de R4.
2. Sea B = {u1, . . . , ur, ur+1, . . . , un} base de un espacio vectorial E. De-
mostrar que E = 〈u1, . . . , ur〉 ⊕ 〈ur+1, . . . , un〉.
3. En el espacio vectorial R4, hallar un subespacio suplementario de
〈(2,−1, 3, 4), (0, 5, 1,−1)〉.
4. Determinar los valores de a ∈ R para los cuales R4 = F ⊕G, siendo
F = 〈(2, 1,−1, 1), (2, 3, 4,−0), (1, 1, 1, 1)〉 y G = 〈(2,−1, 3, a)〉.
Solución. 1. Por conocidas propiedades de la dimensión, cuatro vectores
linealmente independientes en un espacio vectorial de dimensión 4 forman
base. Dado que el rango del sistema {v1, v2} claramente es 2, bastará añadir
a v1 y v2, otros dos vectores v3 y v4 de tal manera que el rango del sistema
{v1, v2, v3, v4} sea 4. Existen infinitas maneras de elegir v3 y v4. Por ejemplo,
rg

2 −1 3 4
0 5 −1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
 = 4,
en consecuencia, si v3 = (0, 0, 1, 0) y v4 = (0, 0, 0, 1) entonces,B = {v1, v2, v3, v4}
es base de R4.
2. Llamemos F = 〈u1, . . . , ur〉 y G = 〈ur+1, . . . , un〉. Sea x ∈ F ∩G, entonces
x ∈ F y x ∈ G, por tanto,
∃λ1, . . . , λr escalares : x = λ1u1 + · · ·+ λrur
∃λr+1, . . . , λn escalares : x = λr+1ur+1 + · · ·+ λnun.
	Espacios vectoriales
	Teorema de la base incompleta