problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (293)

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Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales
4. Sean B y B′ dos bases de un espacio vectorial E. Deducir la fórmula
del cambio de base [x]B = P [x]B′ , para todo x ∈ E, en donde para todo
j = 1, . . . , n, la columna j-ésima de P son las coordenadas de u′j con respec-
to de la base B.
5. Sean B y B′ dos bases de un espacio vectorial E de dimensión finita n.
Demostrar que:
a) La matriz de cambio P de B a B′ es invertible.
b) La matriz de cambio de B′ a B, es P−1.
Solución. 1. a) Trasponiendo los correspondientes coeficientes:
P =
[
1 3
−2 4
]
.
b) La ecuación matricial del cambio es[
x1
x2
]
=
[
1 3
−2 4
] [
x′1
x′2
]
. (1)
en donde (x1, x2)
t representan las coordenadas de un vector genérico x ∈ E
con respecto a la base B, y (x′1, x
′
2)
t las coordenadas del mismo vector x con
respecto a la base B′. Es decir, la ecuación matricial del cambio de base la
podemos expresar en la forma [x]B = P [x]B′ .
c) Sustituyendo en (1) :[
x1
x2
]
=
[
1 3
−2 4
] [
5
−1
]
=
[
2
−14
]
,
por tanto, las coordenadas pedidas son (2,−14)t.
d) Sustituyendo de nuevo en (1) :[
0
7
]
=
[
1 3
−2 4
] [
x′1
x′2
]
⇔
{
x′1 + 3x
′
2 = 0
−2x′1 + 4x′2 = 7,
y resolviendo el sistema, obtenemos x′1 = −21/10, x′2 = 7/10. Las coorde-
nadas pedidas son (−21/10, 7/10)t.
2. Expresemos la base B′ en términos de la B :{
(3, 1) = α1(1, 2) + α2(2,−1)
(2, 4) = β1(1, 2) + β2(2,−1).
Las igualdades anteriores equivalen a los sistemas:{
α1 + 2α2 = 3
2α1 − α2 = 1
{
β1 + 2β2 = 2
2β1 − β2 = 4
(1)