problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (298)

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9.30 Bases de la suma e intersección de subespacios
luego x+ y ∈ F. Por último, sean λ ∈ K y x ∈ F, entonces
A(λx) = λ(Ax) = λ0 = 0,
luego λx ∈ F. Concluimos que F es subespacio de Kn.
(b) Sea rg(A) = r. Entonces, efectuando la reducción de Gauss-Jordan, el
sistema lineal Ax = 0 será equivalente a uno escalonado de la forma:
x1 = b1,r+1xr+1 + . . . +b1nxn
x2 = b2,r+1xr+1 + . . . +b2nxn
. . . . . . . . .
xr = br,r+1xr+1 + . . . +brnxn,
en donde hemos supuesto (sin pérdida de generalidad), que las incógnitas
básicas son x1, . . . , xr. Las soluciones del sistema son:
F ≡

x1
...
xr
xr+1
...
xn

= xr+1

b1,r+1
...
br,r+1
1
...
0

+ . . .+ xn

b1n
...
brn
0
...
1

(1)
en donde xr+1, . . . , xn vaŕıan en K. Las n−r columnas del segundo miembro
de (1), generan a F y son linealmente independientes, luego forman una base
de F. Concluimos que dimF = n− rg(A).
9.30. Bases de la suma e intersección de subespa-
cios
1. Se consideran los subespacios de R4 :
U = {(x1, x2, x3, x4) : x2 + x3 + x4 = 0},
V = {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 = 0, x3 = 2x4}.
Hallar unas bases de: (i) U. (ii) V. (iii) U ∩ V.
2. Sean F1 y F2 subespacios de un espacio vectorial E, y sean S1 y S2 sis-
temas generadores de F1 y F2 respectivamente. Demostrar que S1 ∪ S2 es
sistema generador de F1 + F2.
	Espacios vectoriales
	Bases de la suma e intersección de subespacios