problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (308)

Vista previa del material en texto

9.35 Realificación de un espacio vectorial complejo
es decir todo elemento de F (A,F ) tiene simétrico.
Conmutativa. Para todo f, g ∈ F (A,F ), para todo x ∈ A y usando la
propiedad conmutativa de la suma de vectores en F :
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)⇒ f + g = g + f.
2) Se cumplen los cuatro axiomas de ley externa. Para todo λ, µ ∈ K, para
todo f, g ∈ F (A,F ), para todo x ∈ A y usando la definición de igualdad de
funciones:
1. (λ(f + g)) (x) = λ ((f + g)(x)) = λ (f(x) + g(x)) = λf(x) + λg(x)
= (λf)(x) + (λg)(x) = (λf + λg)(x)⇒ λ(f + g) = λf + λg.
2. ((λ+ µ)f) (x) = (λ+ µ)f(x) = λf(x) + µf(x) = (λf)(x) + (µf)(x)
= (λf + µf)(x)⇒ (λ+ µ)f = λf + µf.
3. ((λµ)f) (x) = (λµ)f(x) = λ (µf(x)) = λ ((µf)(x)) = (λ(µf)) (x)
⇒ (λµ)f = λ(µf).
4. (1f)(x) = 1f(x) = f(x)⇒ 1f = f.
9.35. Realificación de un espacio vectorial comple-
jo
Sea E un espacio vectorial sobre C al que denotamos por E(C). Se define el
espacio realificado de E(C) y se denota por E(R) al espacio vectorial sobre
R obtenido al sustituir en el producto por escalares en E, el cuerpo C por el
cuerpo R. Demostrar que si E(C) es de dimensión finita n, entonces E(R)
es de dimensión 2n.
Solución. Sea B = {u1, . . . , un} una base de E(C). Veamos que una base de
E(R) es B′ = {u1, . . . , un, iu1, . . . , iun}, lo cual probará que dimE(R) = 2n.
i) B′ es sistema libre en E(R). En efecto, supongamos que
α1u1 + · · ·+ αnun + β1(iu1) + · · ·+ βn(iun) = 0 con los αk, βk reales.
Entonces, (α1 + iβ1)u1 + · · · + (αn + iβn)un = 0. Ahora bien, como B es
sistema libre en E(C), se verifica αk+ iβk = 0 para todo k = 1, . . . , n lo cual
implica αk = βk = 0 para todo k = 1, . . . , n
ii) B′ es sistema generador en E(R). En efecto, sea x ∈ E. Como B es
sistema generador en E(C) existen escalares αk + iβk con los αk, βk reales
tales que
x = (α1 + iβ1)u1 + · · ·+ (αn + iβn)un,
es decir x = α1u1 + · · ·+αnun+β1(iu1)+ · · ·+βn(iun) con los αk, βk reales.
	Espacios vectoriales
	Realificación de un espacio vectorial complejo
	Subespacios transversales