problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (309)

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Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales
9.36. Subespacios transversales
Sea E un espacio vectorial real. Se dice que dos subespacios vectoriales U y
V son transversales cuando U + V = E. Se pide:
a) Determinar cuales de las nueve parejas ordenadas posibles (formadas por
dos de estos tres subespacios) son transversales. Justificar la respuesta.
U = {x, x, x) : x ∈ R},
V = {x, x, y) : x, y ∈ R},
W = {x, y, 0) : x, y ∈ R}.
b) Sea f : E → F una aplicación lineal. Demostrar que si f transforma
subespacios transversales de E en subespacios transversales de F , entonces
f es sobreyectiva.
c) Enunciar la proposición rećıproca de la anterior y estudiar su validez (en
caso de ser verdadera dar una demostración, y en caso contrario construir
un contraejemplo).
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).
Solución. a) Los subespacios dados se pueden escribir en la forma
U = 〈(1, 1, 1)〉 , V = 〈(1, 1, 0), (0, 0, 1)〉 , W = 〈(1, 0, 0), (0, 1, 0)〉.
Sabemos que se obtiene un sistema generador de la suma de dos subespacios
mediante la unión de un sistema generador de un subespacio con un sistema
generador del otro. Es decir
U + U = 〈(1, 1, 1)〉
V + V = 〈(1, 1, 0), (0, 01)〉
W +W = 〈(1, 0, 0), (0, 1, 0)〉
U + V = V + U = 〈(1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)〉
U +W = W + U = 〈(1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)〉
V +W = W + V = 〈(1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)〉.
Para que alguna de las parejas anteriores determinen subespacios transver-
sales, el rango del sistema generador correspondiente ha de ser 3. Claramente
las tres primeras parejas no determinan subespacios transversales. Los ran-
gos de los otros sistemas generadores son
rg
1 1 11 1 0
0 0 1
 = 2 , rg
1 1 11 0 0
0 1 0
 = 3 , rg

1 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
 = 3.