problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (319)

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Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
y u1 + u2 pertenece a E1 por ser subespacio, luego v1 + v2 ∈ f(E1). Sea λ
escalar y v ∈ f(E1), entonces v = f(u) para algún u ∈ E, por tanto
λv = λf(u) = f(λu)
y λu pertenece a E1 por ser subespacio, luego λv ∈ f(E1).
(ii) Tenemos f(0) = 0 ∈ F1, luego 0 ∈ f−1(F1). Si u1, u2 ∈ f−1(F1), entonces
f(u1) y f(u2) pertenecen a F1, por tanto
f(u1 + u2) = f(u1) + f(u2)
y f(u1) + f(u2) pertenece a F1 por ser subespacio, luego u1 +u2 ∈ f−1(F1).
Sea λ escalar y u ∈ f−1(F1), entonces f(u) ∈ F1, por tanto
f(λu) = λf(u)
y λf(u) pertenece a F1 por ser subespacio, luego λu ∈ f−1(F1).
(iii) Si E1 = E, entonces f(E1) = f(E) = Im f. Si F1 = {0}, entonces
f−1(F1) = f
−1({0}) = ker f.
7. Sea D : R[x] → R[x] el endomorfismo dado por D(p) = p′. Vimos que
kerD = R 6= {0} y que ImD = R[x], es decir D es endomorfismo sobreyec-
tivo pero no inyectivo.
Consideremos ahora la aplicación T : R[x]→ R[x] definida mediante T (p(x)) =
xp(x). Para todo λ, µ ∈ R y para todo p(x), q(x) ∈ R[x] :
T (λp(x) + µq(x)) = x (λp(x) + µq(x))
= λ (xp(x)) + µ (xq(x)) = λT (p(x)) + µT (q(x)) ,
luego T es lineal. El núcleo de T está formado por los polinomios de p(x) que
satisfacen la igualdad xp(x) = 0, y el único que la cumple es el polinomio
nulo, por tanto T es inyectiva. Por otra parte, no existe polinomio p(x) tal
que xp(x) = 1, en consecuencia T no es sobreyectiva.
No es posible ninguna de las dos situaciones anteriores para un espacio vec-
torial E de dimensión finita n. En efecto, si f : E → E es un endomorfismo
entonces, por el teorema de las dimensiones dimE = dim(ker f)+dim(Im f).
Por tanto,
f es inyectiva ⇔ dim(ker f) = 0⇔ dim(Im f) = dimE
⇔ Im f = E ⇔ f es sobreyectiva.
	 Aplicaciones lineales
	Teorema de las dimensiones